Classificação de um grupo finito e suas representações
$\DeclareMathOperator\Rep{Rep}\DeclareMathOperator\rank{rank}$Deixei $G$ ser um grupo finito, e $C=\Rep(G)$ ser a categoria monoidal de representações complexas de dimensão finita de $G$. Como$C$ é finito e semisimples, pode-se obter todas as representações de $\oplus$ e um conjunto finito $I$de representações irredutíveis. Pela teoria clássica do caráter, há uma bijeção (não canônica) entre$I$ e $\mathrm{Conj}(G)$. Neste tópico, espero entender uma bijeção, se houver, entre os dois lados, considerando$\otimes$.
Para ser mais preciso, vamos $V$ ser uma representação fiel irredutível de $G$. Então, toda representação ocorre como um submódulo de$V^{\otimes n}$ para alguns $n$(cf isso e isso ) e vice-versa! Nós então dizemos que$V$ se gera $C$ sob $\otimes$e conclusão de Cauchy. No entanto, nem todo grupo tem uma representação fiel irredutível. No mesmo post , podemos ver que isso lida em grande parte com a "classificação" do soco de$G$.
Para resumir, defina a classificação, $\rank(G)$, para ser o número mínimo de elementos necessários para gerar $\mathrm{socle}(G)$sob conjugação. Defina a classificação,$\rank(C)$, para ser o número mínimo de elementos irredutíveis necessários para gerar $C$ sob $\otimes$e conclusão de Cauchy. Então
$$ \rank(G) = 1 \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = 1 $$
Questão
Essa equivalência generaliza para
$$ \rank(G) = n \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = n, $$
para cada número natural $n$?
( EDITAR Como Qiaochu apontou no comentário, isso é verdade para grupos abelianos finitos pela dualidade de Pontrjagin.)
Respostas
A resposta à sua pergunta é sim e é o teorema principal do artigo Žmudʹ, È. M. Em representações lineares isomórficas de grupos finitos. Esteira. Sb. NS 38 (80) (1956), 417–430.
Ele pode ser encontrado no Teorema 5 na página 245 de Personagens de grupos finitos. Parte 1. por Berkovich e Žmudʹ. O teorema é formulado de maneira diferente, mas equivalente, e é provado de maneira muito semelhante ao teorema de Gaschutz.
O teorema de Žmudʹ diz que $G$ tem uma representação fiel com $k$ constituintes irredutíveis se e somente se o soco de $G$ pode ser gerado como um subgrupo normal por no máximo $k$elementos Em particular, o menor número de geradores normais de$\mathrm{socle}(G)$ coincide com o menor número de constituintes irredutíveis em alguma representação fiel de $G$.
Agora é suficiente observar $\mathrm{rank}(C)$ é exatamente o número mínimo de constituintes irredutíveis em uma representação fiel de $G$. Na verdade, se$V$ é qualquer representação fiel, então o teorema de Burnside (ou generalização de R. Steinberg) mostra que todo módulo irredutível é um somatório direto em uma potência tensorial de $V$ e assim os constituintes irredutíveis de $V$ gerar $C$sob tensor produto, somas diretas e tomando somas diretas. Por outro lado, se$\rho_1,\ldots, \rho_k$ são representações irredutíveis cuja soma direta não é fiel, então $\ker \rho_1\cap\dots\cap \ker \rho_k$ atua como a identidade em todos os módulos na subcategoria gerada pelos módulos simples correspondentes sob as operações de soma direta, produto tensorial e levando somas diretas e, portanto, essas representações irredutíveis não podem gerar $C$.
portanto $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(C)$