Classificação melhorada de grupos Lie compactos
Esta pergunta é uma continuação da Classificação de grupos de Lie compactos (não necessariamente conectados) . Na resposta a essa pergunta, @LSpice provou que qualquer grupo Lie compacto, não necessariamente conectado$G$toma a forma$$ G = \frac{G_0 \rtimes R}{P} $$Onde$G_0$é o componente de identidade de$G$,$R$é um grupo finito e$P$é um subgrupo finito e comum de$G_0$e$R$que é central dentro$G_0$(mas não precisa ser central dentro$R$).
No entanto, existem muitas possibilidades para o produto semidireto. Para restringir a lista, seria conveniente separar esses elementos de$R$que agem por automorfismos externos não triviais em$G_0$e modifique o resto para que eles se desloquem com$G_0$.
ATUALIZAÇÃO: minha hipótese original (abaixo) é falsa. Uma versão mais fraca e possivelmente correta é:
Hipótese: $R$e$P$pode ser escolhido acima de tal forma que cada elemento de$R$ou (1) age por um automorfismo externo não trivial em$G_0$ou (2) age trivialmente em$G_0$.
ATUALIZAÇÃO 2: @LSpice provou isso na resposta atualizada à Classificação de grupos de Lie compactos (não necessariamente conectados) . Uma reformulação concisa da prova é dada na minha resposta abaixo.
Em comparação, isso é falso:
Hipótese: Qualquer grupo compacto de Lie$G$pode ser escrito na forma$$ G = \frac{(G_0 \times H) \rtimes R}{P} $$Onde$H, R, P$são grupos finitos e elementos não triviais de$R$agem por automorfismos externos não triviais em$G_0$.
Contra-exemplo: considere$G = U(1) \rtimes \mathbb{Z}_4$, onde o gerador$r$do$\mathbb{Z}_4$atua pelo automorfismo externo da ``conjugação de carga''$r^{-1} e^{i \theta} r = e^{-i \theta}$em$U(1)$. Em qualquer extensão finita$G'$deste grupo, elementos de$\pi_0(G)$esse ato por conjugação de carga nunca se enquadrará na identidade em$G'$, assim$G'$nunca leva o necessário$(G\times H) \rtimes \mathbb{Z}_2$forma com$\mathbb{Z}_2$agindo em$U(1)$por conjugação de carga.
Respostas
O @LSpice já provou minha conjectura revisada na resposta atualizada para Classificação de grupos de mentiras compactos (não necessariamente conectados) , mas deixe-me dar outra prova intimamente relacionada.
Desde$1\to \mathrm{Inn}(G_0) \to \mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0) \to 1$sempre divide, veja Aut(G) → Out(G) sempre divide para um grupo de Lie G compacto e conectado? , podemos escolher um subgrupo$R_0 \subseteq \mathrm{Aut}(G_0)$para o qual a restrição de$\mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0)$é um isomorfismo. A imagem inversa de$R_0$sob o mapa$f:G \to \mathrm{Aut}(G_0)$induzida por conjugação é um subgrupo$K \subseteq G$cujo cruzamento com$G_0$é$Z(G_0)$.
Multiplicando qualquer$g\in G$por arbitrário$h \in G_0$multiplica o associado$f(g) \in \mathrm{Aut}(G_0)$por um automorfismo interno arbitrário$f(h) \in \mathrm{Inn}(G_0)$, sem alterar$g$componente conectado do . Portanto,$K$atende a todos os componentes conectados de$G$.
Usando o resultado de Em qualquer grupo de Lie com um número finito de componentes conectados, existe um subgrupo finito que atende a todos os componentes? ,$K$tem um subgrupo finito$R$que atende a todos os componentes$K$, portanto, atende a todos os componentes de$G$também, e cruza$G_0$dentro de$Z(G_0)$. Por design, os elementos de$R$ou agem por automorfismos externos não triviais em$G_0$ou eles agem trivialmente em$G_0$. Isso prova minha conjectura (revisada).
COMENTÁRIO ADICIONADO: Uma generalização interessante, mas falsa, é afirmada e refutada abaixo.
É bem conhecido que qualquer grupo de Lie compacto e conectado$G_0$toma a forma$$G_0 = \frac{T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell}{P}$$Onde$T^k$denota um$k$-toro,$G_1, \ldots, G_\ell$são grupos de Lie compactos, simplesmente conectados, simples e$P$é central. Pode-se pensar que os quocientes nas expressões para$G$e$G_0$podem ser combinados, de modo que qualquer grupo compacto de Lie$G$assumiria a forma:$$ G = \frac{(T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell) \rtimes R}{P} $$onde como antes de cada elemento de$R$age por um exterior não trivial ou age trivialmente em$T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell$. No entanto, isso é falso .
Contra-exemplo: Considere$G=(\mathrm{SO}(2k) \rtimes \mathbb{Z}_4) / \mathbb{Z}_2$, onde o gerador$r \in \mathbb{Z}_4$atua por paridade em$\mathrm{SO}(2k)$e$r^2 = -1 \in SO(2k)$. Agora deixe$G’=(\mathrm{Spin}(2k) \rtimes R)/P$ser uma capa de$G$cujo componente conectado é$G_0'=\mathrm{Spin}(2k)$. Existe algum elemento$r'$do$R$que projeta para$r$, por isso$r’$atua em$\mathrm{Spin}(2k)$por paridade. Se$k$é estranho, então$Z(G_0') = \mathbb{Z}_4$, e$(r’)^2$deve ser um dos dois elementos de ordem 4 em$Z(G_0')$projetar para$(r)^2 = -1$. No entanto, a paridade troca esses dois elementos, então encontramos$(r’)^{-1} (r’)^2 r’ \ne (r’)^2$, o que é uma contradição. O caso de mesmo$k$é muito semelhante.