Como calcular a distância de $k=0$ código do estabilizador?
Isso pode ser visto como uma continuação da pergunta " Como calcular a distância do código do estabilizador? ". Resumindo a resposta aceita: a distância é o peso mínimo do conjunto$$E = \bigl\{e : e \not \in S, e \in \mathrm{Nor}(P_N,S)/(\pm I) \bigr\}$$ Onde $S$ é o grupo estabilizador (gerado por $K_n$na questão anterior), e $\mathrm{Nor}(P_N,S)$ é o seu normalizador no grupo Pauli de ordem $2^{2N+1}$ (Onde $N$= número de qubits; usando a versão real do grupo aqui).
Minha pergunta é a seguinte: isso vale para $k=0$códigos do estabilizador? Suspeito que nem sempre é válido, mas não consigo encontrar uma referência para ele ... parece funcionar na maioria dos casos, mas alguns exemplos simples de contador também são fáceis de encontrar: tome o estado GHZ$\tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\bigr)$, com $K_1=X_1X_2$ e $K_2=Z_1Z_2$. Nesse caso,$\mathrm{Nor}(P,S)=\pm S$, então o conjunto $E$está vazia. Obviamente, algo está quebrado neste processo: acho que a distância deveria ser 2. O que está acontecendo aqui?
Respostas
Observe que no caso $k = 0$, o estabilizador 'código' é um $2^0 = 1$subespaço dimensional do espaço de Hilbert, o que quer dizer que consiste em um único estado estabilizador. Isso terá efeitos um tanto perversos sobre os recursos, como a 'distância' do código.
A "distância do código" é definida em última instância em termos do peso mínimo de um operador Pauli $E$ que não é 'detectável' (quero dizer, distinguível da identidade) de acordo com as condições de Knill-Laflamme: $$ \langle \psi_j \rvert E \lvert \psi_k \rangle = C_E \delta_{j,k} $$ Onde $\lvert \psi_j \rangle, \lvert \psi_k \rangle$são estados no código. No caso de um subespaço unidimensional, há apenas um único estado$\lvert \psi \rangle =: \lvert \psi_0 \rangle$. Assim, tomaríamos$j,k \in \{ 0 \}$, para que o $\delta_{j,k}$ termo é sempre igual a $1$. Mas isso significa que simplesmente definir$C_E = \langle \psi \rvert E \lvert \psi \rangle$, a condição Knill-Laflamme é sempre satisfeita. Assim, a 'distância' do código é definida para um$k = 0$ código do estabilizador como o mínimo sobre o conjunto vazio.
Usando a abordagem menos abstrata para códigos estabilizadores, de considerar pesos de operadores Pauli que estão no normalizador do código, tenha em mente que estamos falando de operadores que mapeiam o espaço de código para si mesmo, mas não são proporcionais a um membro do grupo estabilizador. Mas pelo$k = 0$ operadores que mapeiam o estado $\lvert \psi \rangle$a si mesmo são necessariamente proporcionais aos estabilizadores, portanto, tal operador não existe. Novamente, estamos considerando o peso mínimo sobre um conjunto vazio de operadores.
De acordo com suas convenções, pode ser sensato falar sobre a distância como infinita ; mas, na prática, seria melhor dizer que a distância é indefinida.
No papel clássico https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608006.pdf, na página 10, a distância de um $[n,0]$o código é definido como o menor peso diferente de zero de qualquer estabilizador no código. A interpretação física para esta definição dada é, "Um$[[n, 0, d]]$ código é um estado quântico tal que, quando sujeito a uma decoerência de $[(d − 1)/2]$ coordenadas, é possível determinar exatamente quais coordenadas foram descohered. "