Como estudar para aprender geometria diferencial para aplicá-la à estatística
Basicamente, quero aprender geometria da informação ou especificamente a aplicação da geometria diferencial em estatística para fazer um projeto. Tenho formação estatística e tenho conhecimento sobre análise real, vários cálculos de variáveis, álgebra linear. Um dos meus professores me disse que os três primeiros capítulos da geometria diferencial de Do Carmo seriam suficientes. Alguém pode me garantir se isso é suficiente ou preciso aprender geometria Riemanniana. E se eu precisar aprender geometria riemanniana, qual deve ser meu caminho para aprender. Não quero aprender matemática rigorosa. Eu só quero aplicá-lo às estatísticas.
Respostas
Avishek, não é fácil responder com o pouco contexto que você forneceu.
Eu iria primeiro com o que seu professor disse, e sim, Do Carmo é o lugar certo.
Lá, você aprenderá tudo sobre superfícies em$R^n$, que é basicamente geometria diferencial clássica.
Se, por outro lado, seu projeto estiver no nível de pesquisa (digamos, tese de mestrado ou além), faça o download deste artigo . Isso tem a ver com a geometria abstrata da informação, que por sua vez depende da geometria diferencial moderna: variedades, cálculo de tensores etc. você define toda a maquinaria intrinsecamente.
Se não conhece a geometria clássica das superfícies, ainda tem que passar uns dias na Do Carmo. Então prepare-se para muito suor, para entrar na abordagem moderna.
Espero que ajude
Acho que Do Carmo é uma boa opção. Pessoalmente, sou um fã da Introdução às Variedades Suaves de John Lee e sua sequência Variedades Riemannianas. Embora sejam escritos em um nível mais alto, eles realmente enfatizam a imagem geométrica em ação.
Acho que a pesquisa da Nielsen é um bom artigo e achei muito útil para obter uma visão geral ampla do IG. No entanto, eu não recomendaria usá-lo para aprender geometria diferencial. A maioria dos livros sobre geometria da informação adota uma abordagem muito idiossincrática da geometria, o que pode dar origem a vários mal-entendidos. Isso não é grande coisa se você já estiver familiarizado com a geometria diferencial, mas será mais um problema se estiver tentando aprendê-la.
Vale a pena ler esses dois trabalhos se você estiver interessado em IG, mas darei um exemplo do que quero dizer. Tanto o livro de Amari quanto o artigo de pesquisa da Nielsen afirmam que a holonomia de uma conexão plana é trivial (embora eles não usem essa linguagem). Na geometria da informação, as conexões planas de interesse geralmente estão em famílias exponenciais (onde isso acaba sendo verdade). Porém, em geral, a holonomia de uma conexão plana não é zero (é induzida por grupo fundamental). Além disso, para este resultado, a conexão deve ser livre de curvatura e torção (não apenas livre de curvatura). Os manifolds estatísticos são geralmente considerados como tendo conexões livres de torção, portanto, isso não é um problema nas aplicações. Estes são pontos relativamente menores se você estiver familiarizado com a geometria diferencial,