Como faço para escrever formalmente um espaço euclidiano com símbolos?

Question

Um espaço é uma tupla ordenada, onde o primeiro elemento é um conjunto e os seguintes elementos estão descrevendo a estrutura adicionada, por exemplo $(X, m)$ para um espaço métrico, $(X, \tau)$para um espaço topológico. Quais são os seguintes elementos para um espaço euclidiano?

Pelo que eu entendo, precisamos

• $X=\mathbb R^n$ é o conjunto de todas as n-tuplas de números reais (com $n\in\mathbb N$)
• precisamos dos elementos de $X$ para serem vetores - assim linearmente combináveis ​​com a multiplicação escalar $\times$, o campo $F$ e adição $+$.
• um produto escalar $\cdot$ entre os elementos de $X$.
• uma norma para os elementos de $X$. Isso está inerentemente incluído no produto escalar ou preciso declarar explicitamente para ser mais preciso? Não preciso de um adicional "$-$"? http://faculty.cord.edu/ahendric/2008Fall210/subsub.pdf sugere que isso também está incluído no "$+$"
• completude de $X$ (isso está inerentemente incluído no fato de que $X=\mathbb R^n$?)
• uma métrica (acho que também está inerentemente incluída na norma e o fato de que os elementos de $X$ são vetores, certo?)

A partir disso, deduzo que um espaço euclidiano é $(\mathbb R^n, \cdot, +, F, \times)$. Possivelmente também preciso de um "$-$"

Então: Como escrevo formalmente um espaço euclidiano com símbolos?

Answer 1

Você já escreveu um espaço euclidiano em sua pergunta: $\mathbb{R}$.

A única outra coisa que posso pensar que você pode querer incluir é sua métrica. Dizer$(\mathbb{R},d)$ é um espaço métrico e define d, que é a distância de quaisquer dois pontos.

Existem alguns axiomas a serem lembrados para métricas:

1. $d(x,x)=0$

2. $d(x,y)>0$

3. $d(x,y)=d(y,x)$

4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (chamada de desigualdade triangular; pense em um triângulo retângulo e você caminhará em uma linha diagonal para chegar aonde precisa)

Existem muitas métricas que podemos definir para um espaço como $\mathbb{R^2}$, o plano real; o mais comum sendo$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

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EDITAR:

Você precisaria aprender alguma topologia, suponho. O produto cartesiano é apenas um exemplo de um conceito mais geral que são os espaços do produto. Na topologia, discutimos a continuidade e os conjuntos abertos (nem todos são definidos da mesma forma). Dizer$X,Y$ são espaços topológicos, e o conjunto, $U_{X_i}$ e $V_{Y_i}$ estão abertos em suas respectivas topologias.

Nós definimos a topologia no espaço do produto $X\,\,x\,\, V$apenas dizendo que "herda" a topologia dos outros dois espaços. Um subconjunto de$X\,\,x\,\, V$ está aberto se e apenas se $U\subset X$ e $V\subset Y$estão ambos abertos. Isso se aplica exatamente da mesma maneira aos nossos espaços métricos padrão, mas, em vez disso, o espaço do produto herdará a métrica, o que pode ser considerado como nos dando uma ideia do que "aberto" também!