Como fazer o Mathematica cancelar os infinitos em uma integral definida

Aug 17 2020

Eu tenho esta integral:$\int_z^1 dz_1\frac{z}{z_1(z_1 - z)} \Bigg(\ln z_1 \ln(1 - z_1) - \ln z \ln(1-z)\Bigg)$.

Se eu tentar resolvê-lo no Mathematica, não dá nenhum resultado, embora possa resolver a versão indefinida dele. Se eu tomar então o limite desse resultado para$z_1\rightarrow z$e$z_1\rightarrow 1$para ter a resposta para a integral definida existem alguns infinitos em termos separados, mas na expressão inteira eles se cancelam. Termos como este, por exemplo:$-\ln 0 \ln z + \ln 0 \ln z$o que é óbvio que os infinitos se cancelam (como deveriam, já que esta integral descreve a quantidade física). Até agora, tenho lidado com esse problema manualmente e anulado esses aparentes infinitos termo a termo.
Minha pergunta é: Existe uma maneira de dizer ao Mathematica para manipular esses termos e cancelá-los no resultado?
Eu tentei pegar o limite, mas sempre dá "Indeterminado". Eu realmente aprecio alguma ajuda.

Respostas

4 yarchik Aug 17 2020 at 17:54

Parece não haver problemas com MA 11.3. Não há divergências para valores reais de z. É preciso esperar cerca de 40 s.

 Integrate[z/(z1(z1-z)) (Log[z1]Log[1-z1]-Log[z]Log[1-z]),{z1,z,1},Assumptions->0<z<1]//Timing

Out[1]= {41.7505,-(1/6) Log[1-z] (Log[1-z]^2+3 Log[1-z] Log[z]+3 Log[z]^2
                  +6 PolyLog[2,z])+PolyLog[3,z/(-1+z)]}

Deve-se notar que para$0<z<1$o integrando é real, contínuo e livre de singularidades no intervalo$z\le z_1 \le 1$. Na verdade$z_1=z,1$são singularidades removíveis . Portanto, PrincipalValue->Truenão é necessário.