Como resolver essa congruência quadrática? $27w^2+20w+35 \equiv 0 \pmod{23}$ [duplicado]

Nov 27 2020

Dado $27w^2+20w+35 \equiv 0 \pmod{23}$

Como resolver essa congruência quadrática? Todas as dicas são bem-vindas. Eu completei o quadrado, então obtive$27(x+\frac{10}{27})^2+\frac{845}{27} \equiv 0 \pmod{23} $ Preciso obter 2 soluções no sistema de menor resíduo que sejam as respostas corretas: $w\equiv 6 \pmod{23}$ e $w \equiv 12 \pmod{23}$

Respostas

4 ParclyTaxel Nov 27 2020 at 18:22

Para facilitar o cálculo manual, reescrevemos a equação como $$4w^2-3w+12\equiv0\bmod23$$ Divida pelo coeficiente líder, ou seja, multiplique por $4^{-1}=6$: $$w^2+5w+3\equiv0\bmod23$$ Agora aplique a fórmula quadrática: $$w\equiv\frac{-5\pm\sqrt{13}}2\bmod23$$ Precisamos descobrir as raízes quadradas de $13$ dentro $\mathbb Z_{23}$. $6$ é facilmente verificado como uma raiz, então $-6$ é o outro: $$w\equiv\frac{-5\pm6}2\equiv9\pm3\bmod23$$

3 NeatMath Nov 27 2020 at 18:23

Dica:

$$\pmod{23}: 4w^2-3w+12\equiv 0 \implies 8w^2-6w+1\equiv 0 \implies (2w-1)(4w-1)\equiv 0. $$

Atualização para justificar porque multiplico 2 por$4w^2-3w+12$, é mais fácil trabalhar com números inteiros do que com frações, portanto, para completar o quadrado, mantendo todos os inteiros de coeficientes que multiplicamos por 16:

$$16(4w^2-3w+12)=64w^2-48w+192=(8w-3)^2+183\equiv (8w-3)^2-1 = (8w-2)(8w-4)=8(4w-1)(2w-1) \pmod{23}$$

e agora você vê o porquê.

Atualização 2: gosto da maneira de Parcly Taxel de fazer primeiro a monônica quadrática:

$$w^2+5w+3\equiv0\pmod{23}$$

Depois disso, pode ser feito um pouco mais rápido:

$$w^2-18w+3\equiv 0 \implies (w-9)^2 = 78\equiv 9 =3^2 \implies (w-6)(w-12) \equiv 0 \pmod{23}$$

1 md2perpe Nov 27 2020 at 19:05

Desde a $27 \equiv 4$ podemos escrever a equação como $4w^2 + 20w + 35 \equiv 0.$ Completar o quadrado dá $(2w+5)^2 + 10 \equiv 0,$ ie $(2w+5)^2 \equiv -10.$ Mas $-10 \equiv -10+2\cdot 23=36=6^2,$ então $2w+5\equiv\pm 6,$ ie $2w=-5\pm 6.$

Caso $+$: $2w=-5+6=1\equiv 1+23=24=2\cdot12$ então $w\equiv12.$

Caso $-$: $2w=-5-6=-11\equiv -11+23=12=2\cdot6$ então $w\equiv6.$

Assim, as soluções são $w=12$ e $w=6$.