Compreensão intuitiva de como as linhas paralelas se encontram na geometria projetiva
Estou assistindo a uma palestra sobre Topologia, onde é mencionado que em Geometria Projetiva se Encontram Linhas Paralelas . Estou interessado em uma ideia intuitiva de como isso é possível. É na geometria projetiva que fazemos uma suposição de que no infinito as linhas paralelas se encontram exatamente como fazemos uma suposição de que qualquer sequência divergindo para o infinito é a mesma no infinito?
Respostas
Já que você pediu uma ideia intuitiva de como é possível que linhas paralelas se encontrem, considere a observação comum de que os trilhos (que são paralelos) se encontram no horizonte. Você sabe, é claro, que a Terra não é um plano e que um telescópio poderoso mostraria que eles não se encontram realmente. Mas finja que a Terra é um plano infinito plano. As trilhas se encontram no horizonte ou não?
Na geometria projetiva, as transformações permitidas são chamadas de transformações projetivas . Eles são bijeções do plano que mapeiam linhas em linhas. Quatro pontos não colineares que mapeiam para outros quatro pontos não colineares determinam exclusivamente uma transformação projetiva. Se você brincar com as transformações projetivas, verá que elas parecem mudanças de perspectiva.
Voltando aos trilhos da ferrovia em um plano infinito, considere a perspectiva A, que os olha de cima, e a perspectiva B, que os vê convergindo no horizonte (linha $h$) Há uma transformação projetiva$T$ que leva a perspectiva A à perspectiva B. Mas considere $T^{-1}$, o que leva $B$ para $A$. Uma vez que linhas vão para linhas, o que é$T^{-1}(h)$? Já que o horizonte está "no infinito",$T^{-1}(h)$não pode ser uma linha finita. É a "linha no infinito"$l_{\infty}$, que é uma linha que consiste em "pontos no infinito", que por sua vez podem ser considerados como direções (suponha que você tenha duas ferrovias indo em direções diferentes. Elas se encontrarão em pontos diferentes no horizonte). Além disso,$T(l_{\infty})=h$, assim $T$ é maneira de ver $l_{\infty}$ como uma linha visível.
Adicionando a linha $l_{\infty}$ para o avião é um pouco como adicionar $i=\sqrt{-1}$ para $\mathbb R$para obter os números complexos. Em ambos os casos, adicionamos algo que nos parece um imaginário e intangível, mas em troca obtemos uma estrutura matemática mais consistente e completa.
Então, sim, na geometria projetiva, os trilhos da ferrovia (vistos de cima como linhas paralelas) se encontram em um ponto $l_{\infty}$. E é por isso que na geometria projetiva não existe o conceito de "paralelo".
Resposta à pergunta em um comentário (mas inerentemente ou na realidade as linhas ainda são paralelas, certo?): A mentalidade da geometria projetiva é que são apenas linhas e pontos. Não há informações métricas, como distância e ângulo. Por outro lado, tendemos a usar o plano euclidiano como um modelo inicial para nos ajudar a visualizar as coisas. Isso é útil, mas temos que abandonar nossas noções métricas, e a declaração "linhas paralelas nunca se encontram" não é mais verdadeira porque foi substituída pelo axioma "duas linhas se encontram em um ponto". Portanto, o plano euclidiano é uma espécie de rodinhas de treinamento para retratar o que está acontecendo. A analogia com os números imaginários é apenas sugestiva aqui, porque "i" expande R para C, mas com a geometria projetiva "linhas paralelas não se encontram" é substituído por "duas linhas distintas se encontram". Você pode ir para o outro lado e começar com o plano projetivo e, ajustando as coisas, chegar ao plano euclidiano. O axioma paralelo também foi substituído na geometria hiperbólica, mas de uma maneira diferente, e pessoas como Gauss ficaram imaginando se o axioma paralelo era "verdadeiro na realidade" (como, no mundo real), mas manteve seus pensamentos para si mesmo porque eram muito controversos . E na geometria esférica, duas linhas (definidas como grandes círculos) sempre se encontram.
Mas, para a sua pergunta, se você quer jogar pelas regras do jogo, você não diz que duas linhas são paralelas, você diz que elas se encontram em $l_{\infty}$. E não há nada de especial sobre$l_{\infty}$. Na verdade, se você tiver um teorema sobre linhas paralelas, você pode obter frequentemente um novo teorema gratuitamente aplicando uma transformação projetiva e substituindo "linhas paralelas" por "linhas que se encontram em uma linha particular (como$h$) ". Você ainda pode insistir que as linhas são paralelas, mas nesse ponto você está saindo dos limites e dizendo algo sobre um modelo específico de geometria projetiva.
na geometria projetiva, as linhas paralelas se encontram
É uma afirmação oximorônica.
É mais correto dizer
na geometria projetiva, não há duas linhas distintas paralelas
A forma como a declaração oximorônica surgiu é a seguinte: de qualquer plano afim (como o plano euclidiano, onde uma única linha tinha incontáveis compatriotas paralelos), você pode adicionar pontos, que formam uma nova linha, e estender as relações de incidência para criar um plano projetivo contendo esse plano afim.
Para cada classe de equivalência, você declara um novo ponto, denominado ponto ideal, correspondente a essa classe. Todas as linhas da classe são “estendidas” em um ponto e todas compartilham o ponto em comum.