Comprimento de onda de De Broglie de sistemas compostos
O comprimento de onda de De Broglie de um sistema composto (como uma molécula) pode ser derivado em vez de ser calculado a partir da massa do composto?
EDIT: @Dr jh, relação interessante que você derivou. No entanto, isso é uma reescrita da equação de DeBroglie original, embora usando as variáveis λ. De Broglie adivinhou sua solução definindo restrições de relatividade e calculou a frequência da partícula em seu referencial de repouso como f = m0c2h. Acho que podemos reformular minha pergunta sobre por que uma partícula adquire tal frequência, pois parece ser uma propriedade do sistema ligado, para que possamos por um momento ignorar que ela é composta. O que a física subjacente dá à partícula esta frequência. Dito de outra forma, se tivéssemos uma grande bola sobre a água e a víssemos subindo e descendo, assumiríamos que algo a está empurrando, algo como uma onda d'água. Podemos fazer algo semelhante aqui e assumir que o sistema vinculado adquiriu sua frequência de tempo adequada de alguma forma, ressonando para uma onda subjacente no vácuo? O que é interessante na forma como De Broglie derivou sua solução, e eu vi isso apenas em livros raros de QM, é que a partícula tem uma onda espacialmente plana (fase constante) associada que, então, quando observada a partir do ponto de um quadro em movimento parece um onda plana ao longo da direção do movimento com o λ conhecido. Nenhuma outra forma de onda na estrutura da partícula, exceto a onda de fase constante, produziria tal relação.
Respostas
O comprimento de onda de De Broglie de um sistema composto (como uma molécula) pode ser derivado em vez de ser calculado a partir da massa do composto?
Sim pode. Este é o material padrão para o átomo de hidrogênio em livros didáticos de mecânica quântica suficientemente sólidos, e a extensão para sistemas maiores é (em grande parte, embora não completamente) direta. No entanto, você tem que começar do QM totalmente desenvolvido, incluindo as relações de comutação canônicas e a equação de Schrödinger.
A forma como funciona é que você começa com a equação de Schrödinger no formulário $$ \left[ \frac{\mathbf p_p^2}{2m_p} +\frac{\mathbf p_e^2}{2m_e} -\frac{e^2}{|\mathbf r_e-\mathbf r_p|} \right]\Psi(\mathbf r_p, \mathbf r_e,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf r_p, \mathbf r_e,t) $$ (Onde $\mathbf p_p$ e $\mathbf p_e$ são os operadores para os momentos de próton e elétron), e você faz uma transformação de mudança de variáveis para centro de massa e coordenadas relativas, \begin{align} \mathbf R & = \frac{m_p \mathbf r_p + m_e \mathbf r_e}{m_p+m_e} \\ \mathbf r & = \mathbf r_e - \mathbf r_p, \end{align} com momentos correspondentes $\mathbf P$ e $\mathbf p$, e você pode mostrar que isso resulta em $$ \left[ \frac{\mathbf P^2}{2M} +\frac{\mathbf p^2}{2\mu} -\frac{e^2}{|\mathbf r|} \right]\Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) , $$ Onde $M=m_p+m_e$ é a massa total e $\mu = \frac{m_pm_e}{m_p+m_e}$ é a massa reduzida.
O que isso significa é que a dinâmica fatoriza completamente, com a dinâmica do centro de massa obedecendo à equação de Schrödinger mais simples de uma partícula livre: $$ \frac{\mathbf P^2}{2M} \Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf R,t) . $$ Agora, a relação de Broglie (ela mesma codificada nas relações de comutação canônicas) diz a você que $P = h/\lambda_\mathrm{COM}$, Onde $\lambda_\mathrm{COM}$ é o comprimento de onda de de Broglie do centro de massa, mas você também sabe disso (no limite onde faz sentido falar sobre velocidades) $P = M v_\mathrm{COM}$.
O relacionamento que você deseja vem de colocar os dois juntos.
Essa é uma pergunta interessante. O comprimento de onda de de Broglie de qualquer objeto é dado por
$λ_c = \frac{h}{mv}$
onde m é a massa do objeto, v é a velocidade eh é a constante de Planck. Para objetos compostos, como moléculas, podemos simplesmente adicionar as massas, mas uma relação para combinar os comprimentos de onda dos átomos constituintes pode ser um pouco mais complicada. Vamos tentar fazer isso por indução. O caso de dois átomos (dois corpos) (por exemplo, o$NaCl$ molécula) combinamos as duas massas de cada átomo para que
$m_T=m_1 + m_2$
Onde $m_T$é a massa total. A relação de de Broglie para a massa de cada um dos átomos são:
$m_1= \large \frac{h}{λ_1v}$
$m_2= \large \frac{h}{λ_2v}$
(e, obviamente, a velocidade de cada componente é idêntica à velocidade do todo), enquanto para os comprimentos de onda de de Broglie compostos, temos
$λ_T = \large \frac{h}{(m1+m2)v}$ = $\frac{h}{[(h/λ_1v)+(h/λ_2v)]v}$ = $\frac{1}{1/λ_1 + 1/λ_2}$
Podemos então aplicar isso ao caso de 3 corpos, e assumindo que os dois componentes de fato combinam como antes, então podemos combinar indutivamente um terceiro comprimento de onda, ou seja,
$λ_T = \large \frac{1}{1/λ_1 + 1/λ_2 + 1/λ_3}$
E novamente por indução, podemos estender isso para encontrar uma relação geral para a composição dos comprimentos de onda de de Broglie para qualquer número de comprimentos de onda componentes (ou átomos componentes) N:
$$λ_T = \frac{1}{1/λ_1+1/λ_2+...+1/λ_N}$$
Esta relação mostra que a onda de de Broglie resultante da molécula, é o recíproco da soma dos recíprocos, dos comprimentos de onda constituintes (átomos). Este é um resultado interessante.
Observe que a física nunca explicará "por que" as coisas acontecem. A física vai lhe dizer "como" as coisas acontecem com base na observação, experimento e hipótese. Sua pergunta é mais filosófica do que científica. Desnecessário dizer que a dualidade onda-partícula é um princípio central da física moderna / mecânica quântica. Toda matéria exibe comportamento ondulatório. Um feixe de partículas como elétrons difratará ou interferirá da mesma forma que as ondas de água. É a hipótese de de Broglie que a matéria se comporta como uma onda. É isso aí. Este comportamento é aparente no nível quântico e para objetos macroscópicos é insignificante. Sua comparação com uma "bola de boliche flutuando nas ondas de água" é baseada em uma suposição inválida. Objetos quânticos, como fótons, não precisam ter um meio para exibir comportamento de onda. (Sua pergunta parece uma reminiscência da pergunta de Michelson-Morley, onde foi determinado experimentalmente que a luz não precisa de um meio para se propagar). Não há "ressonância para uma onda subjacente no vácuo", como você diz.
Talvez você possa estudar a Teoria da Onda Piloto ou a Mecânica Bohmiana . Isso fornece uma alternativa completamente determinística para a teoria quântica aceita atualmente. A teoria em si não é aceita pela física convencional e não é compatível com a relatividade. Mas é interessante.