Contra-exemplo do teorema de Riemann-Stieltjes

Question

Suponha $f$ é boounded on $[a,b]$, $f$ tem apenas finitamente muitos pontos de descontinuidade em $[a,b]$ e $ \alpha $é contínua em todos os pontos de descontinuidade. Então$f \in \Re(\alpha)$

Existe algum exemplo que se $f$ é limitado em $[a,b]$ e descontínuo em $ x=c \in $[a, b], $ \alpha(x) $ é descontínuo em $ x=c $ também, mas $ f \in \Re(\alpha)$?

Answer 1

Um exemplo em que tanto o integrando quanto o integrador são descontínuos, mas a integral de Riemann-Stieltjes existe é$$f(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x < c \\ 1, & c \leqslant x \leqslant b \end{cases}\quad \alpha(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x \leqslant c \\ 1, & c < x \leqslant b \end{cases}$$

Para uma partição com subintervalo $I_c =[c,c+\delta]$ temos as somas Darboux-Stieltjes superior e inferior iguais a $1$ Desde a $\sup_{x\in I_c} f(x) = \inf_{x \in I_c} f(x) = 1$ e $\alpha(c+\delta) - \alpha(c) = 1$. Isso prova que$f \in \mathcal{R}(\alpha)$ já que para qualquer $\epsilon > 0$ existe uma partição tal que $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$.