Dada uma equação de curvatura, como encontrar a família de equações paramétricas que se ajusta?
Eu vi algumas perguntas e respostas aqui para casos especiais sobre como encontrar as equações paramétricas para uma dada curvatura. Por exemplo; Encontre a equação paramétrica para uma curva com dada curvatura . No entanto, não entendo o processo geral. Alguém poderia me orientar durante o processo?
Eu me importo com as equações paramétricas do formulário
$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$
Portanto, tendo curvatura assinada
$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$
Minha pergunta é
Dada a equação para $\kappa(s)$, como você encontra a família de soluções para $\gamma(s)$?
Presumo que haja uma curva única que satisfaça $\kappa(s)$, embora a solução final tenha três constantes, $x_0$, $y_0$, e $\theta$, que irá codificar uma translação e rotação arbitrária (ou algum equivalente) de tal curva, pois, intuitivamente, a curvatura não se preocupa com a translação ou rotação de toda a curva.
Como nota final, sou simplesmente um estudante superotimista e, como tal, só lidei academicamente com equações diferenciais de primeira ordem e tenho apenas curvatura autodidata. Independentemente disso, eu entendo conceitualmente cada um. Como tal, gostaria de receber uma resposta mais ou menos no meu nível de compreensão.
Respostas
Não há apenas uma rotação e translação arbitrárias, mas também uma reflexão e parametrização da curva. Então, em primeiro lugar, tome a parametrização de comprimento de arco padrão em que a definição da curvatura torna-se$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ Onde $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ é o vetor tangente e $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$é 'o' vetor normal. Este último é definido apenas até um signo, portanto, deve-se escolher um deles arbitrariamente. Isso corrige a lateralidade da curva, ou seja, o reflexo.
Portanto, a equação diferencial a resolver é $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ Como uma equação de segunda ordem, isso deve fornecer quatro constantes de integração, mas há a restrição de comprimento de arco $(x')^2+(y')^2=1$, então, na verdade, apenas três constantes permanecem: duas para translações e uma para rotação.
Como afirmei, "Eu só lidei academicamente com equações diferenciais de primeira ordem" , então esta resposta à minha própria pergunta pode estar repleta de falhas, mas esta é (acredito) a forma geral que eu procurava. Muito obrigado a Chrystomath pelo insight.
E se $(x')^2+(y')^2=1$, então
$$\kappa=x'y''-y'x''$$
Além disso, $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$
$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$
Deixei $u=x'$
$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Com lógica semelhante, segue
$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Portanto, a equação paramétrica pode ser encontrada (troca convencional $\sin$ e $\cos$) ser estar
$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$
Vejam só, como profetizado por Cristomath: três constantes (duas para translação e uma para rotação), e os reflexos (indicados por $\pm$)!