Definição incomum de conjunto Cantor

Question

Já vi várias definições de conjuntos de cantores, mas todas parecem diferentes das minhas. Meu livro define um conjunto de cantores como:

O conjunto de todos os números reais do formulário $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}3^{-n}$ Onde $a_{n}$ pega um ou outro dos valores $0$ ou $2$.

Como isso é um conjunto? Eu não entendo o que eles querem dizer com "onde$a_{n}$ pega um ou outro dos valores $0$ ou $2$"isso significa que $a_{n}$ alternativo como $0$, $2$, $0$, $2$? Vocês poderiam me dar alguns valores neste conjunto? E o que isso tem a ver com essa imagem que vejo por toda parte?

Answer 1

Seu livro significa que o conjunto do cantor é o conjunto de números $x$ que são possíveis de escrever no formulário $\sum_{n=1}^{\infty}a_n3^{-n}$ para alguma sequência $a_n$ onde cada $a_n$ é também $0$ ou $2$. Um pouco menos densamente, você pode dizer:

• Um número em $[0,1]$ está no conjunto Cantor se puder ser escrito como duas vezes a soma dos poderes distintos de $3$.

• Um número $x$ dentro $[0,1]$ está no conjunto Cantor se tiver uma expansão ternária que nunca usa um $1$. (Este é o mesmo que acima, percebendo que as expansões ternárias são apenas "escrever uma vírgula decimal e depois um monte de números$\{0,1,2\}$ e considere a soma do $n^{th}$ tempos do termo $3^{-n}$ No geral $n$")

O particular $x$ Onde $a_n$ alterna entre $0$ e $2$ está, portanto, no conjunto Cantor (este $x$ igualando $1/4$), mas existem inúmeras outras sequências $a_n$ cujos únicos valores são $0$ e $2$, todos os quais produzem elementos distintos do conjunto Cantor.

A imagem que você mostra mostra a construção do mesmo conjunto, tomando um intervalo e removendo repetidamente o terço do meio de cada intervalo. Isso produz uma sequência de conjuntos que ficam cada vez menores - e a interseção de todos esses conjuntos é o conjunto do cantor, e é exatamente o mesmo conjunto que seu livro define. A equivalência é mais clara nas expansões ternárias:

No início, você tem o intervalo $[0,1]$. Você então remove o intervalo$(1/3,2/3)$ porque o primeiro termo de sua expansão ternária deve ser $.1\ldots_3$, significando que eles não podem ser escritos na forma desejada. Então, você remove$(1/9,2/9)$ e $(7/9,8/9)$ cujas expansões ternárias começam $.01\ldots_3$ e $.21\ldots_3$ porque, embora o primeiro dígito esteja bom (sendo $0$ ou $2$), seu segundo dígito não é. Você, então, removeria aqueles números cujas expansões ternárias começam$.001\ldots_3$ ou $.021\ldots_3$ ou $.201\ldots_3$ ou $.221\ldots_3$ e assim por diante - e os únicos números restantes no final seriam aqueles que podem ser escritos com uma expansão ternária contendo apenas $0$'areia $2$'s - que é exatamente o conjunto de números que podem ser escritos na forma que seu livro apresenta.