Deixar $x_0$ser um número transcendental, $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$. Qual é o limite de $x_n$?

Jan 15 2021

Deixar$x_0$ser um número transcendental,$$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$Qual é o limite de$x_{n}$?

Escolher$x_0=\pi$, e parece que o limite de$x_n$é$-1$. Mas qual é a prova disso$\pi$e outros números? Deixar$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$O seguinte pode ser útil.$$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$.

Respostas

VarunVejalla Jan 15 2021 at 21:05

Deixar$f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$. Se$\lim x_n$existe, então$L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$, então defina$$L=f(L)$$

Há três soluções para isso:$L = -3, -1, 1$. Para encontrar o correto, note que para um pequeno bairro ao redor$-3$, Você tem$|f(x)+3|>|x+3|$, e ao redor$1$, Você tem$|f(x)-1|>|x-1|$. Para ambos$-3$e$1$, a diferença será ainda maior. Por aí$-1$por outro lado, você tem$|f(x)+1|<|x+1|$, então a diferença está se tornando menor (esta não é uma prova rigorosa, mas mais intuitiva).

Assim, para "a maioria"$x_0$, convergirá para$-1$. A única maneira de convergir para$-3$ou$1$é se converge exatamente em um número finito de iterações. Mas para que isso seja verdade, tem que ser uma solução para$$f^n(x_0) = -3$$(ou$1$) para alguns$n$, o que significa que deve ser algébrico. Portanto, para todo transcendental, o limite será$-1$.