Deixei $P$ seja um $30$polígono com lados inscritos em um círculo. Encontre o valor de $\frac{N}{100}$.
Deixei $P$ seja um $30$polígono com lados inscritos em um círculo. tem$N$ número de triângulos cujos vértices são os vértices de $P$ de modo que quaisquer dois vértices de cada triângulo sejam separados por pelo menos três outros vértices em $P$. Encontre o valor de$\frac{N}{100}$.
O que eu tentei : isso é mais um problema de combinação do que de geometria, então aqui está o que eu acho.
Primeiro, fixe a ponta de um triângulo. O próximo ponto pode ser escolhido em$23$maneiras. Mas não tenho certeza de como escolher o$3$ponto, quanto à escolha do $2$Além disso, há pequenas variações também, que não seguem a regra.
Eu pensei antes em fixar um ponto, e então o próximo $2$ os pontos podem ser escolhidos em ${23}\choose{2}$ maneiras, mas então percebi que está errado, uma vez que aqueles $2$ pontos podem não ter um $3$ ponto gap, e eu não conseguia saber como progredir nisso.
Como de costume, também sei que o número de triângulos em um $n$polígono de lados sem lados compartilhados é dado pela fórmula: - $$\rightarrow\frac{n(n-4)(n-5)}{6}$$ Portanto, o número total de triângulos é $3250$, mas não tenho certeza de como esse fato ajudará nesse problema.
Alguém pode me ajudar? Obrigado.
Respostas
Escolha qualquer ponto e chame-o $A_1$. Rotule os pontos no sentido anti-horário$A_2,\ldots,A_{30}$ .
O segundo vértice pode ser qualquer de $A_5$ para $A_{27}$.
Quando o segundo é $A_5$, o terceiro vértice pode ser qualquer de $A_9$ para $A_{27}$. Isso é$19$ maneiras.
Quando o segundo é $A_6$, o terceiro vértice pode ser qualquer de $A_{10}$ para $A_{27}$. Isso é$18$ maneiras.
E assim por diante. Número de triângulos$= 19+18+17+\ldots+1$
Poderíamos começar em qualquer ponto como primeiro vértice, então o desejado é $$\dfrac{19\cdot20}{2} \cdot \dfrac{30}{3}$$
Se fôssemos deixar pelo menos $k$ pontos entre vértices adjacentes, pela mesma lógica, obteremos $$\dfrac{n(n-3k-1)(n-3k-2)}{6}$$
para apropriado $k$. Desde a$3k+2$ número de pontos são deixados de fora primeiro quando o segundo vértice é $A_{k+2}$.
Uma abordagem alternativa é usar o método de estrelas e barras.
Podemos generalizar e considerar, em vez de triângulos, $k$polígonos laterais. Também deixe$d$ ser a "distância" mínima entre os vértices daqueles $k$polígonos com lados, onde "distância" é o número de vértices internos mais um. No nosso caso temos$k = 3$ e $d = 4$. Portanto, o problema passa a ser encontrar o número de soluções de:
$$ x_1 + x_2 + \ldots + x_{k-1} + x_k = n$$
Onde $x_i, i=1,\ldots,k$ são as "distâncias" entre os vértices do $k$polígonos com lados, com a restrição:
$$x_i \ge d, i=1,\ldots,k$$
Podemos definir $y_i = x_i+d, i=1,\ldots,k$, e então a primeira equação se torna:
$$y_1 + y_2 + \ldots + y_{k-1} + y_k = n-kd$$
com $y_i \ge 0, i=1,\ldots,k$. Portanto, pelo método das estrelas e barras, as soluções para cada vértice são:
$${n-kd+k-1 \choose k-1}$$
e há $n$ vértices, mas todos $k$-sided polygon é em comum com $k$ deles, então a solução final é:
$${n-kd+k-1 \choose k-1}\frac{n}{k}={30-3\cdot4+3-1 \choose 3-1}\frac{30}{3}={20 \choose 2}\frac{30}{3}=1900$$