Derivação da transformação passa-baixo para passa-banda

Question

Eu tenho uma pergunta básica.

A transformação "bem conhecida" de passa baixo para passa banda é $$ s \longmapsto \frac{\bar{s}^2 + \omega_1\omega_2}{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}, $$ que dá uma função de transferência passa-banda de $$ \frac{1}{s + 1} \longmapsto \frac{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}{\bar{s}^2 + \bar{s}(\omega_1 - \omega_2) + \omega_1 \omega_2}. $$

Minha intuição é que um passa-banda deve ser o produto de um passa-baixo e de um passa-alto. No entanto, este produto oferece uma função de transferência diferente:$$ \frac{\omega_1}{s + \omega_1} \frac{s}{s + \omega_2} = \frac{\omega_1 s}{s^2 (\omega_1 + \omega_2) s + \omega_1 \omega_2}, $$ o que indica que a transformação passa-banda não dá essa cascata de passa-baixo e passa-alto.

• Minha pergunta é: como a transformação passa-banda é projetada, em termos de combinação de filtros passa-baixo ou por colocação de pólos?

• Pergunta relacionada, mas usando uma técnica de derivação diferente, e é feita referência à derivação passa-baixo / passa-alta, mas não é mostrada: Como a transformação passa-baixo para passa-banda é derivada?

Answer 1

Você está certo ao dizer que a multiplicação de um filtro passa-baixo e passa-alto resulta em um filtro passa-banda, desde que a frequência de corte do passa-baixo seja maior do que a frequência de corte do passa-alto. O problema com essa abordagem é que os filtros passa-baixo e passa-alto com respostas de magnitude que são ótimas de acordo com algum critério escolhido (Butterworth, Chebyshev, Cauer) não resultarão em um filtro passa-banda ótimo.

Por outro lado, mapear um único filtro ótimo resultará em outro filtro ótimo. Usando$\omega_l\omega_u=\omega_0^2$, Onde $\omega_l$ e $\omega_u$ são bordas de banda inferior e superior, respectivamente, e $\omega_0$ é a frequência central do filtro passa-banda, e deixando de fora constantes por uma questão de simplicidade, a transformação pode ser escrita como

$$s\longmapsto \frac{s^2+\omega_0^2}{s}\tag{1}$$

[Observe que $\omega_l$ e $\omega_u$ são denotados como $\omega_1$ e $\omega_2$ no OP, mas eles são usados ​​de uma maneira diferente na figura abaixo.]

O mapeamento $(1)$ mapas DC ($\omega=0$) para a frequência central desejada $\omega_0$. Além disso,$s=\pm\infty$ está mapeado para $s=0$ e $s=\infty$. Portanto, todo o eixo de frequência do filtro passa-baixo é mapeado para o eixo de frequência positivo do filtro passa-banda. (O mesmo é verdade para a metade negativa do eixo do filtro passa-banda):

(de: Digital Filter Design by Parks and Burrus)