Diagramas de nós não alternados

Question

(Perguntei isso no MSE há alguns dias sem uma resolução clara.)

Comece com uma curva fechada de auto-interseção, onde cada cruzamento é transversal. Agora forme algo como o oposto de um diagrama de nó alternado da seguinte maneira. Começando em qualquer lugar, percorra a curva e, a cada cruzamento não visitado, passe por cima/acima. Se a travessia já foi visitada anteriormente, deixe a designação da travessia atribuída.

Dois exemplos são mostrados abaixo. (a) é claramente o nó desfeito. (b) também é o nó solto, talvez não tão óbvio.

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^{O círculo vermelho indica o ponto inicial, a seta indica a direção transversal.}

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Eu esperava que esses diagramas obviamente representassem o nó, mas não estou vendo uma prova clara. Então:

Q. _ Prove (ou refute) que tal diagrama de nó sempre representa o nó não resolvido.

Answer 1

Vamos parametrizar a curva plana por$\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$e assumir$\gamma(0)=\gamma(1)=(0,0)$. Então sua curva é o diagrama de nó do nó que é parametrizado por$K:[0,2]\to\mathbb R^3$dado por$$K(t)=\begin{cases}(\gamma(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$(essencialmente, imagine suspender seu nó em uma vara, de modo que a corda desça a uma velocidade uniforme.) Então, podemos "desenrolar" esse nó. Ou seja, desde$\gamma$só passa$(0,0)$nas extremidades, podemos escrever$\gamma(t)$em coordenadas polares por$(r(t),\phi(t))$com$r,\phi$contínuo em$(0,1)$. Podemos então desatar$K$pela seguinte sequência de nós$K_s$, que começa com um nó e termina com$K$, escrito em coordenadas cilíndricas:$$K_s(t)=\begin{cases}(r(t),s\phi(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$