Dificuldade em compreender o significado do Paradoxo de Grelling.
Histórico: Sou um novato em matemática, mas ainda não me matriculei na universidade. Eu comecei a ler aleatoriamente a introdução à lógica matemática de Mendelson , quando me deparei com esse paradoxo na seção introdutória:
Paradoxo de Grelling: um adjetivo é chamado de autológico se a propriedade denotada pelo adjetivo é válida para o próprio adjetivo. Um adjetivo é chamado de heterológico se a propriedade denotada pelo adjetivo não se aplica ao próprio adjetivo. Por exemplo, 'polissilábico' e 'inglês' são autológicos, enquanto 'monossilábico' e 'francês' são heterológicos. Considere o adjetivo 'heterológico'. Se 'heterológico' é heterológico, então não é heterológico. Se 'heterológico' não é heterológico, então é heterológico. Em ambos os casos, heterológico é heterológico e não heterológico.
Eu gostaria de entender o seguinte:
- Qual é a fonte da falácia lógica neste paradoxo? Se eu formular um conjunto$A$ de todos os adjetivos e subconjuntos $A_a$ e $A_h$ correspondendo a adjetivos autológicos e heterológicos, respectivamente, então poderia ser o caso de $\text{(heterological)}\in A-(A_a\cup A_h)$, ou seja, não pertence a nenhum dos dois conjuntos (a menos que $A_a\cap A_h=\emptyset$ e $A_a\cup A_h=A$)
- Em uma nota mais leve, eu gostaria de saber sobre o significado matemático desse paradoxo e como ele é tratado nas teorias de conjuntos modernas.
Embora eu entenda que as respostas podem ser muito abstratas, adicione uma analogia mais simples junto com uma explicação técnica necessária, se possível.
Respostas
E se $A, A_a,$ e $A_h$ na verdade, "faz sentido" - mais sobre isso a seguir - então temos claramente que $A_a$ e $A_h$ partição $A$: $A_h$ está definido para ser $A\setminus A_a$. Portanto, sua proposta não funciona.
A correção é que $A_a$ e $A_h$são na verdade mais complicados do que parecem. Só temos um paradoxo se o adjetivo "heterológico" estiver em$A$. Mas acontece que isso não acontece: basicamente, para definir heretologicidade, precisamos usar um predicado de verdade para$A$e não temos um daqueles em$A$em si .
Esta é uma maneira de ver o paradoxo em ação.
Deixei $\ulcorner\cdot\urcorner$ seja sua função de numeração Gõdel favorita e deixe $Form$ser o conjunto de todas as fórmulas de primeira ordem na linguagem da aritmética. Para simplificar, vamos escrever "$\mathbb{N}$"para a estrutura $(\mathbb{N};+,\times,0,1,<)$. Então o set$$X=\{\ulcorner\varphi\urcorner: \mathbb{N}\models\neg\varphi(\underline{\ulcorner\varphi\urcorner})\},$$ a versão de $A_h$ para fórmulas aritméticas de primeira ordem, não pode ser definível por uma fórmula aritmética de primeira ordem: se $X$ foram definidos por alguma fórmula $\theta$ da aritmética de primeira ordem, isto é, se tivéssemos $$X=\{n: \mathbb{N}\models\theta(\underline{n})\}$$ para alguma fórmula $\theta$ da aritmética de primeira ordem, obteríamos uma contradição ao considerar se $\mathbb{N}\models\theta(\ulcorner\theta\urcorner)$.
De forma mais geral, podemos generalizar a configuração específica acima para qualquer configuração onde temos alguma lógica $\mathcal{L}$, alguma estrutura $\mathfrak{A}$, e algum mecanismo de "codificação" apropriado de $\mathcal{L}$-fórmulas em $\mathfrak{A}$. Acertar os detalhes requer um pouco de reflexão, mas o ponto é que o paradoxo de Grelling ilustra um fenômeno fundamental de "intensificação" que não podemos evitar: o conjunto de Grelling para uma lógica / estrutura / sistema de codificação em particular não é definível nessa estrutura por uma fórmula dessa lógica.
(Observe que $X$pode de fato ser definido em contextos mais amplos : por exemplo, é definível em$\mathbb{N}$por uma fórmula de lógica de segunda ordem, e é definível por uma fórmula de primeira ordem no universo de conjuntos , dos quais$\mathbb{N}$ forma um pedaço muito pequeno.)