Dilatação do tempo em um foguete se movendo em direção a um fóton
Eu vi dilatação do tempo explicada mais ou menos desta maneira:
Se você estiver em um foguete, competindo com um fóton, e seu foguete estiver quase na velocidade da luz, tecnicamente você verá o fóton se afastando a uma velocidade bem menor do que a da luz. Mas isso não acontece, porque a velocidade da luz é sempre a mesma. Para resolver esse problema, seu tempo se dilataria, de modo que você ainda veria o fóton se afastando na velocidade da luz e experimentaria o tempo mais devagar.
Acho que esse caso faz sentido. Mas e se o fóton estivesse se movendo na direção oposta? E se em vez de se afastar do foguete, que foi realmente vindo em direção a ela de longe? Tecnicamente, o piloto veria o fóton se movendo a mais do que a velocidade da luz (a soma da velocidade da luz e a velocidade do foguete).
Suponho que isso também seja impossível, pois a velocidade da luz é sempre constante. Mas se o tempo do piloto se dilatasse neste caso (ser experimentado mais lentamente), ele não perceberia o fóton ainda mais rápido do que antes (ainda mais rápido do que a velocidade da luz e a velocidade do foguete combinadas)?
Como faço para abordar esse problema? O tempo dilataria ou se contrairia neste caso?
Respostas
Tecnicamente, o piloto veria o fóton se movendo a mais do que a velocidade da luz (a soma da velocidade da luz e a velocidade do foguete).
No quadro do piloto, a luz estaria vindo em sua direção exatamente às c. Para obter isso, você precisa usar a fórmula de adição de velocidade relativística correta. Na mecânica newtoniana, a velocidade relativa é apenas$v’= v+u$ mas na relatividade é $$v’=\frac{v+u}{1+vu/c^2}$$
Como você pode ver, por $v=\pm c$ isto dá $v’=\pm c$ não obstante $u$. Não importa se a luz está se movendo para perto ou para longe do observador. De qualquer forma, ele se move em c em qualquer referencial inercial.
Aqui está um diagrama do espaço-tempo em papel milimetrado girado
que sugere como qualquer observador inercial chega
ao mesmo valor da velocidade da luz.
A velocidade da linha de mundo da luz (ao longo do cone de luz)
pode ser obtida considerando um vetor ao longo do cone de luz.
A velocidade é a inclinação, a razão de seu componente espacial para seu componente temporal.
A partir do diagrama, todos os observadores inerciais obtêm a mesma velocidade para a luz, tanto para sinais de luz direcionados para frente quanto para trás.
O que é exibido aqui geometricamente neste diagrama de espaço-tempo
pode ser expresso de outras maneiras, como a equação fornecida pela resposta de @Dale.
Do comentário do OP
mas não entendo como a percepção do tempo do piloto se ajustaria para compensar a luz de “maior velocidade” assumida. Como você aborda esse problema? - Roberto Valente
A percepção de tempo do piloto (isto é, seu relógio de luz bate ao longo de sua linha do mundo [sua linha do tempo]) é acompanhada pela percepção do espaço do piloto (isto é, seu relógio de luz bate ao longo de seu senso de espaço [sua linha do tempo]). Esta é uma visualização da transformação de Lorentz que foi declarada por @Dale em sua resposta ao comentário do OP.