Distância máxima percorrida em um movimento de projétil ideal
Em um movimento de projétil, considere o projétil a ser lançado de $(0,0)$como rastreado para estar em eixos cartesianos. Então a trajetória é dada por$$y=x \tan \theta \big(1-x/R)$$ Onde $\theta$ é medido de $x$ eixo, e a gravidade atua ao longo $y$ eixo, $R$ representa a faixa máxima que pode variar com a velocidade inicial, que tem uma magnitude de $v$.
Usando a fórmula do comprimento do arco de uma curva geral, $$dl=\int\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\ dx$$ obtemos a distância percorrida como uma integral da forma D =$\sqrt{ax^2+bx+c}$
Um modelo interativo pode ser encontrado aqui.
Minha pergunta: Como faço para descobrir em que ângulo$\theta$ a distância percorrida pelo projétil será maximizada, dado um $v$.
Eu tentei fazer $$\frac{d}{d \theta}D=0$$ mas me deu um desconhecido $\frac{dx}{d \theta}$, Não consigo me aproximar mais, então criei um gráfico aqui e descobri que ele está perto de$56.4^\circ$ mas não tenho certeza se está corrigido.
Respostas
Seu método não é tão ruim no início, exceto que você parece ter ignorado (ou pelo menos não declarado claramente) que $R$ depende de $\theta$também, o que torna esse problema bastante difícil de resolver. Se eu entendi corretamente, você gostaria de encontrar o valor de$\theta$ (para uma velocidade fixa $u$) que maximiza o comprimento total do projétil no ar. Neste caso, tomando derivados como$\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta}$não é sensato. As variáveis que você deseja maximizar em relação a são$a,b,$ e $c$, já que você estará integrando $x$!
Apesar de quão convencido eu estava inicialmente de que esse problema deveria ter um resultado analítico simples, parece que não! Pelo que eu posso ver, para realmente resolvê-lo, você precisa usar métodos numéricos. Se alguém souber de uma maneira melhor, ficaria muito interessado. Deixe-me explicar o que fiz.
Decidi fazer as seguintes suposições:
A velocidade total (uma constante) é 1. Isso não é um problema, eu apenas escolhi unidades nas quais $u=1$, o que é perfeitamente aceitável.
Estarei apenas variando $u_y$, dada a restrição acima. O valor de$u_x$ será consertado por $\sqrt{1 - u_y^2}$.
Como você apontou (mas formulado de maneira um pouco diferente), o comprimento total coberto pelo projétil é:
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2} \text{d}t$$
(Neste caso, optei por parametrizar a curva pelo tempo $t$, que eu integro de $t=0$ para $t=2 u_y/g$, que pode ser facilmente mostrado como o tempo total de vôo. Você também pode fazer do seu jeito.)
Usando o fato de
\ begin {equation} \begin{aligned} y &= u_y t - \frac{1}{2}g t^2,\\ x &= u_x t, \end{aligned} \ end {equation}
é fácil mostrar isso
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{(u_y-gt)^2 + u_x^2} \,\,\text{d}t = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{u^2 - 2u_y g t + g^2 t^2} \,\,\text{d}t.$$
Em momentos como este, é útil "adimensionar" a equação, de modo que os limites não dependam de $u_y$. Podemos definir um tempo "sem dimensão"$$\tau = \frac{g}{2u_y}t,$$ de modo que a integral se torna:
$$L = \frac{2}{g} \int_{0}^{1}u_y\sqrt{u^2 - 4 u_y^2 \tau + 4 u_y^2 \tau^2} \,\,\text{d}\tau,$$
que é uma parte integrante bastante desagradável de resolver manualmente. Talvez o pessoal do Math.SE pudesse fazer justiça? Decidi usar o Mathematica para resolver isso .
Eu primeiro integrei a função numericamente e plotei a integral para diferentes valores de $u_y$ como mostrado abaixo, e fiquei surpreso ao descobrir que $L$ tinha um valor máximo (meu pensamento inicial foi talvez que não) para $u_y$ algo entre 0,82 e 0,84.
Diante disso, pedi ao Mathematica para integrar a função e descobri que
$$L = \frac{1}{4}\left( 2 u u_y + (u_y^2 - u^2) \ln\left({\frac{u - u_y}{u+u_y}}\right)\right).$$
Não há nada que nos impeça de usar unidades onde $u=1$ e portanto $u_y \in (0,1)$, e nessas unidades
$$L= \frac{1}{4}\left( 2 u_y + (u_y^2 - 1) \ln\left({\frac{1 - u_y}{1+u_y}}\right)\right).$$
Em seguida, tentei maximizar isso em função de $u_y$ tomando a derivada e igualando-a a zero, o que leva a:
$$2 + u_y \ln\left({\frac{1 - u_y}{1 + u_y}}\right) = 0.$$
Esta é uma equação transcendental e, como tal, não é facilmente resolvível. Mas não é muito difícil resolver numericamente para descobrir que$L$ é maximizado quando $$u_y = 0.833557,$$
que se encontra no intervalo que esperávamos. Isso corresponde a um ângulo de$$\theta = \arctan{\frac{u_y}{\sqrt{1 - u_y^2}}} = 0.985516 \text{ rad} \approx 56.466^\circ.$$