É possível caracterizar antichains máximos em termos de redes distributivas?

Question

Isso é inspirado na recente questão Verificação de uma anticadeia máxima

A celebrada dualidade entre posets finitos e redes distributivas finitas tem várias formulações interessantes. Um deles atribui a um poset$P$ a rede $\mathscr D\!P$de seus downdeals (gosto dessa palavra inventada, eu acho, por Freyd). Um downdeal de$P$ um subconjunto $D\subseteq P$ satisfatório $p\leqslant q\in D$ $\Rightarrow$ $p\in D$. Esta é uma rede distributiva (limitada) com respeito às operações de união e interseção. Inversamente a uma rede distributiva finita$L$ um atribui o poset $\Pi\!L$de seus primos . Um elemento$p\in L$ é primo se $x\land y=p$ implica $x=p$ ou $y=p$, e os primos são ordenados por divisibilidade: $p\leqslant q$ sse $p$ divide $q$, denotado $p|q$ ie $\exists x\ q=p\land x$, ou equivalentemente apenas $p\land q=q$. Isso parece uma complicação excessiva, pois inverte a ordem herdada de$L$, mas é apenas uma questão de conveniência: você sempre pode mudar para todos os tipos de definições equivalentes, como inverter a ordem em $P$ ou em $L$, substituindo primos por primos de junção ou passando para complementos de downdeals, que são updates , ou ambos, etc., etc.

A dualidade diz duas coisas. Primeiro, que todo$L$ pode ser identificado com a rede de downdeals de seus primos, ou seja, um elemento $x\in L$ é determinado exclusivamente por seus divisores principais, $D_x:=\{p\in\Pi\!L\mid\exists y\ x=p\land y\}$; em outras palavras, todo$x$é o encontro de seus principais divisores. Além disso, cada downdeal$D$ de $\Pi\!L$ é $D_x$ para um único $x\in L$, ou seja, para $x=\bigwedge D$.

Em segundo lugar, a dualidade diz que cada poset $P$ pode ser identificado com o poset de primos de $\mathscr D\!P$. Nomeadamente,$p\in P$ torna-se identificado com $\not\uparrow\!\!p:=\{q\in P\mid p\not\leqslant q\}$ e cada primo de $\mathscr D\!P$ é $\not\uparrow p$ para um único $p\in P$. além disso$p\leqslant q$ sse $\not\uparrow\!\!p\subseteq\not\uparrow\!\!q$.

Agora, para um poset finito $P$, seus downdeals estão em correspondência um a um com seus antichains: a um downdeal $D$ um atribui o anticadeia $\max\!D$ de seus elementos máximos, e para uma anticadeia $\alpha\subseteq P$ o downdeal $\downarrow\!\alpha$ dos elementos abaixo $\alpha$, $\{p\mid\exists\ q\in\alpha\ p\leqslant q\}$.

Minha pergunta é: pode-se caracterizar abstratamente, algebricamente, sem apelar para essa dualidade, aqueles elementos de uma rede distributiva finita $L$que correspondem a antichains máximos de seu poset dual?

Mais explicitamente (espero não ter cometido nenhum erro ao traduzi-lo): existe uma caracterização puramente algébrica, sem mencionar primos, daqueles $a\in L$ com a propriedade que para qualquer primo $p\notin D_a$ há um primo $p'\in\max D_a$ com $p'|p$?

Para essa pergunta inspiradora, na verdade, só precisamos considerar redes distributivas finitas livres , o que significa considerar apenas os posets$P$que são conjuntos de potência completos de algum conjunto finito, ordenados por inclusão. Parece não se saber muito sobre a cardinalidade do conjunto de todas as antichains máximas em um conjunto de energia. De acordo com o OEIS , a sequência desses começa como$1,2,3,7,29,376,31764,...$

A questão Mapa sobre a classe de todos os posets finitos vindos de antichains de tamanho máximo parece estar intimamente relacionada, mas aquela se refere a antichains de maior tamanho possível, enquanto o meu é sobre todas as antichains máximas, isto é, antichains não contidos em qualquer outra antichain. Claramente, tais antichains podem ter vários tamanhos em geral, em particular em powerets. Por exemplo, os dois elementos antichain$\{\{1\},\{2\}\}$ e um elemento anticadeia $\{\{1,2\}\}$ são antichains máximos no conjunto de poderes de $\{1,2\}$.

Answer 1

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Richard Stanley explica em um comentário que as antichains máximas $A$ de $P$ estão em correspondência um a um com intervalos booleanos máximos de $\mathscr D\!P$.

Em geral, dado $D'\subseteq D$ com $D,D'\in\mathscr D\!P$, é fácil ver que o intervalo $[D',D]$ é a rede isomórfica para $\mathscr D(D\setminus D')$, Onde $D\setminus D'$ é o subposet de $P$com a ordem parcial induzida. Então$[D',D]$ é booleano se e somente se $D\setminus D'$ é uma antichain.

Por outro lado, qualquer antichain $A\subseteq P$ dá origem a tal intervalo booleano, com $D=\downarrow\!A$ e $D'=D\setminus A$. E (claramente?) Antichains máximos correspondem a intervalos booleanos máximos.

Agora há uma construção, que vi pela primeira vez executada por Harold Simmons. Para um elemento$a$ em qualquer álgebra de Heyting completa, vamos $$ \tau a=\bigwedge\{b\geqslant a\mid b\to a=a\}. $$ Então $[a,\tau a]$ é o maior intervalo booleano com fundo $a$.

Claramente, em uma álgebra de co-Heyting completa, há um operador duplamente definido $\delta$ de tal modo que $[\delta b,b]$ é o maior intervalo booleano com top $b$.

Exemplo. Na rede de conjuntos fechados de um espaço topológico,$\delta$é o derivado de Cantor-Bendixson. Ou seja, para um conjunto fechado$C$, $\delta C$ é o conjunto de seus pontos limites.

Então, se estamos em uma álgebra bi-Heyting completa, ambos os operadores estão disponíveis, e um intervalo $[a,b]$ é booleano máximo se e somente se $a=\delta b$ e $b=\tau a$.

Isso, então, aparentemente implica que ambos os elementos $a$ satisfatório $\delta\tau a=a$ e elementos $b$ satisfatório $\tau\delta b=b$deve de alguma forma corresponder a antichains máximos. Especificamente, no caso em que nossa álgebra é$\mathscr D\!P$ para algum poset $P$, então $\tau\delta D=D$ para $D\in\mathscr D\!P$ deveria significar isso $\max D$ é uma anticadeia máxima, enquanto $\delta\tau D=D$ deveria significar isso $\min(P\setminus D)$ é uma anticadeia máxima.