É possível encontrar um inteiro (não quadrado) que é um módulo de resíduos quadráticos de uma dada lista infinita de primos?
Eu estou querendo saber se é possível, dado um primo p e uma lista infinita de primos$q_1$,$q_2$, ... para encontrar um inteiro d que (1) não é um quadrado mod p, mas (2) é um quadrado mod$q_i$para todos eu. Sempre às vezes nunca? Provavelmente às vezes --- quais são algumas condições? Na aplicação que tenho em mente, o$q_i$são todos os divisores primos dos números$p^{2^n}-1$como n varia de 1 a infinito, mas isso é um pouco flexível.
(A propósito, a aplicação envolve tomar uma interpolação p-ádica de exponenciação de inteiros racionais e estendê-la a anéis de inteiros em torres de campos numéricos.)
[ETA: Esqueci de mencionar que d também deve ser um quadrado mod 8 para o aplicativo, o que exclui a resposta de -1 fornecida abaixo.]
Para uma lista finita, d pode ser construído usando o Teorema Chinês do Resto, mas isso não parece ajudar aqui.
Dado d, a reciprocidade quadrática fornece um conjunto infinito de primos para os quais d é um quadrado, mas preciso dos primos especificados primeiro.
Grunwald-Wang diz, se bem entendi, que a condição (1) implica que d não é um módulo quadrado$q$para infinitos primos$q$, mas não diz nada sobre primos para os quais d é um quadrado.
O teorema da densidade de Chebotarov parece implicar que o conjunto de possíveis d tem densidade zero, mas não descarta (ou implica) que tal d exista.
Obrigado por qualquer ajuda, fontes ou conselhos!
----Josh
Respostas
Depende da lista dada de primos. Uma condição mais simples, mas necessária, é que haja um$d$de modo que todos os primos da lista (maiores que$d$) estão concentrados em algumas classes de congruência$\bmod 4d.$Podemos nos ater aos divisores primos ímpares, pois tudo é um resíduo quadrático$\bmod 2.$
Se a lista for toda de primos congruentes a$1 \bmod 4$então$-1$é um resíduo quadrático comum. Isso provavelmente não parece muito emocionante.
Se a lista contém todos os divisores primos ímpares de$3^{2^n}-1$Como$n$intervalos sobre os inteiros positivos então$-1$é novamente um resíduo quadrático comum. Esse é o tipo de coisa que você mencionou. Mas a razão é que todos esses primos são$1 \bmod 4$
Se não me engano, e pelo mesmo motivo,$-1$é um resíduo quadrático comum dos divisores primos de$p^{2^n}-1$Como$n$intervalos sobre os números inteiros começando em$2.$
Para certos primos, como$5,7,17,19,31,53,59$podemos expandir a lista para todos os divisores primos de$p^{2^n}-1$com a exceção de$3.$Em geral, é suficiente descartar quaisquer divisores de$p^2-1$que são$3 \bmod 4.$
Os fatos por trás disso são
- $p^{2^n}-1=(p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)\cdots(p^{2^{n-1}}+1)$
- cada fator ímpar de$p^{2^m}+1$é da forma$2^{m+1}q+1$
- $-1$é um resíduo quadrático para primos que são$1 \bmod 4.$
Pense primeiro sobre esta pergunta (fácil). Para fixo$d$quais são os primos ímpares$q$de tal modo que$d$é um resíduo quadrático$\bmod q?$Chame este conjunto$G_d.$Podemos supor que$d$é livre de quadrados.
Em seguida, os membros do$G_d$são os divisores primos de$d$junto com esses primos em uma união de certas classes de congruência$\bmod 4d.$Metade das aulas$(r \bmod 4d)$com$\gcd(r,4d)=1$
Em alguns casos ($d$mesmo ou$d$ímpar com todos os divisores$1 \bmod 4$) basta considerar as classes de congruência$\bmod 2d$. No entanto, o que está escrito ainda está correto. vou ignorar o seu$p$na suposição de que o objetivo era descartar$d$sendo um quadrado.
Então o específico$d$funciona para uma instância particular do seu problema, precisamente se a lista escolhida for um dos incontáveis subconjuntos infinitos de$G_d.$
Por outro lado, suponha que seja dado que os membros da lista (além dos divisores de$d$na lista, se houver) são escolhidos entre alguns$k \ll \phi(d)$das aulas de congruência$\bmod 4d$. Então, se o$k$são escolhidos ao acaso, a chance de que$d$funcionará é menor que$2^{-k}$.
Então começando de uma lista$\mathbf{q}=q_1,q_2,\cdots$a primeira pergunta é "Existe alguma razão para suspeitar que há um$M$para que todos os membros$\mathbf{q}$(principal para$M$) estão concentrados em algumas das classes de congruência$\bmod M?$" Se isso não acontecer, então não há esperança. Se acontecer por um certo$M,$então as chances ainda podem ser baixas.
Então depende muito de onde$\mathbf{q}$vem de.
A propósito, o problema de encontrar um$d$que é um não-resíduo quadrático relativo a todos$q \in \mathbf{q},$é igualmente difícil.