É possível escrever uma métrica em um espaço como uma união disjunta contável de conjuntos compactos?

Question

Deixar$ (X,d)$seja um espaço métrico e seja$\mu $seja um Radão$\sigma$-medida finita no Borel$\sigma$-álgebra. Eu li que é possível encontrar conjuntos compactos disjuntos contáveis$\lbrace K_n\rbrace_{\mathbb{N}}$e um$\mu$-conjunto nulo$N$de tal modo que$$ X=\bigcup_{\mathbb{N}}K_n\cup N. $$

Eu tentei chegar a alguns resultados usando regularidade interna de$\mu$, mas nada. Esta afirmação é verdadeira? Como posso provar isso?

Answer 1

A suposição chave aqui é que$\mu$é uma medida de Radon, o que significa que é regular interna em relação a conjuntos compactos . Sem essa suposição, isso não é verdade, nem mesmo se$\mu$é finito (por exemplo, existem espaços métricos que suportam medidas contínuas em que todos os conjuntos compactos são finitos).

Escreva$X=\bigcup_n X_n$, onde cada$X_n$são Borel disjuntos e de medida finita. Em seguida, recursivamente, escolha um compacto$K_{n,m}\subseteq X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'}$de tal modo que$\mu((X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'})\setminus K_{n,m})<1/m$. Então$X_n\setminus \bigcup_{m} K_{n,m}$é nulo e assim$X\setminus\bigcup_{n,m} K_{n,m}$é nulo e$K_{n,m}$são claramente disjuntos.