É possível resolver essa equação usando a função Lambert W?

Aug 16 2020

Eu me deparei com uma equação que precisa ser resolvida enquanto eu estava trabalhando em um projeto escolar. Eu tentei usar o Lambert$W$função para resolver a seguinte equação, mas não tive sucesso. É mesmo possível resolver para$x$ sem métodos numéricos?

$$ ax+(bx-c)e^{kx}=d $$

Respostas

RobertIsrael Aug 16 2020 at 23:18

Não parece possível resolver isso em geral usando Lambert W. Seria possível se $a$ ou $b$ estava $0$.

Você pode tentar uma solução em série se um dos parâmetros puder ser considerado pequeno. Assim, uma série de poderes de$k$ é

$$ x = {\frac {c+d}{a+b}}+{\frac { \left( c+d \right) \left( ac-db \right) }{ \left( a+b \right) ^{3}}}k+{\frac { \left( c+d \right) \left( 3\,a c+ad-bc-3\,db \right) \left( ac-db \right) }{2\, \left( a+b \right) ^ {5}}}{k}^{2}+\ldots $$

ClaudeLeibovici Aug 17 2020 at 12:24

Do ponto de vista formal, você pode fazer isso.

Reescreva a equação como $$e^{-kx}=-\frac ba \,\,\frac{x-\frac{b}{c}} {x-\frac{d}{a} }$$que tem uma solução em termos da função de Lambert generalizada .

Basta dar uma olhada na equação $(4)$ no artigo vinculado.

Isso é bom, mas não muito útil do ponto de vista prático.

Uma vez que você precisará de um método numérico, você precisa de uma estimativa para encontrar o (s) zero (s) da função

$$f(x)=ax+(bx-c)e^{kx}-d$$. A primeira derivada sendo$$f'(x)=a+e^{k x} (b k x+b-c k)$$ cancela em $$x_*=\frac{W\left(t\right)}{k}+\frac{c}{b}-\frac{1}{k}\qquad \text{where} \qquad t=-\frac{a }{b}e^{1-\frac{c k}{b}}$$ E se $x_*$existe, execute uma expansão de Taylor em torno deste ponto para obter uma estimativa $$x_0=x_* \pm \sqrt{-2 \frac {f(x_*)}{f''(x_*)}}$$

Vamos tentar com $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$, $k=5$.

Isso vai dar $$x_*=\frac{1}{10} \left(2 W\left(-\frac{1}{2 e^{13/2}}\right)+13\right)\approx 1.29985$$

Então $x_0=1.58434$ enquanto a solução exata é $x=1.50069$.

Uma vez que temos $x_0$, vejamos as iterações do método de Newton; Eles serão$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.58434 \\ 1 & 1.52533 \\ 2 & 1.50339 \\ 3 & 1.50072 \\ 4 & 1.50069 \end{array} \right)$$