E se $r>0$ e $r\notin \mathbb{N}$, existe um método simples para avaliar $ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} {\binom{n}{r}^{-1}}?$
Deixei $r>0,r\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$. Empiricamente, notei a seguinte relação:$$ \sum_{n=0}^{\lfloor r \rfloor} \frac{1}{\binom{n}{r}} = - \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}; $$em particular, $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}} =0}$. Observe que se$r$ é um número inteiro, a soma finita não é bem definida, embora tenhamos $$ \sum_{j=0}^{k-1} \operatorname{Res} \left(\frac{1}{\binom{z}{k}},z=j\right)= k\cdot\sum_{m=0}^{k-1}\binom{k-1}{m}(-1)^m=0, $$então, nesse sentido, a soma "cancela". Mathematica retorna a forma fechada de$$ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}= \frac{\lceil r\rceil }{(r-1) \binom{\lceil r\rceil }{r}}, $$que quando $r\in\mathbb{N}$se reduz a esta questão , mas não sei como deduzir isso sozinho. Talvez eu não esteja entendendo totalmente as respostas aqui, mas não acho que os mesmos truques se apliquem quando a soma não se estende. Resumindo, minhas perguntas são:
- Alguém pode explicar o formulário fechado?
- Existe uma razão simples e conceitual para que a soma finita seja o negativo da soma infinita?
Respostas
Aqui está um cálculo da soma total de $n=0$ para $\infty$, o que pode levar a uma maneira de calcular a soma finita. Desde a$$\binom xy\binom yx=\operatorname{sinc}(\pi(x-y)),$$ Onde $\operatorname{sinc}(x)=\sin(x)/x$, temos $$\frac{1}{\binom xy}=\binom yx\frac{\pi(x-y)}{\sin(\pi(x-y))};$$ em particular, $$\frac{1}{\binom nr}=\binom rn\frac{\pi(r-n)}{\sin(\pi(r-n))}=\pi(r-n)\binom rn\frac{(-1)^n}{\sin \pi r}.$$ Então, queremos avaliar $$\frac{\pi}{\sin \pi r}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(r-n)\binom rn.$$ Considerar $$f(x)=(1+x)^r=\sum_{n=0}^\infty \binom rnx^n.$$ Nós temos $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\sum_{n=0}^\infty \binom rn\frac{dx^{n-r}}{x}=\sum_{n=0}^\infty \binom rn(n-r)x^{n-r-1};$$ Além disso, $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{x}\right)^r=-\frac{r\left(\frac{1+x}{x}\right)^{r-1}}{x^2},$$ e então temos a identidade $$\sum_{n=0}^\infty \binom rn(-1)^n(r-n)\binom rn=(-1)^{r+1}\frac{d}{dx}\left(x^{-r}f(x)\right)\bigg|_{x=-1}=0$$ sempre que $r>1$.