Em busca de uma variedade que descreveria semigrupos fielmente representáveis ​​como traduções corretas.

Question

E se $G$ é um grupo, vemos que a bijeção $y\mapsto y_r$, Onde $(x)a_r = xa$, funções escritas a partir da direita, é um isomorfismo de grupo.

Dessa forma, temos uma interpretação interessante de grupos como traduções.

Inspirado por isso, vamos $S$ser qualquer magma. Vamos considerar a mesma operação de uma tradução correta em$S$. Podemos fazer uma pergunta, quando é este mapa$y\mapsto y_r$ um homomorfismo.

Claramente, este é iff $(x)a_rb_r = (x)(ab)_r$ para qualquer $x, a, b$, isso é, $(xa)b = x(ab)$.

Dessa forma, de uma simples pergunta sobre as traduções formando um homomorfismo, chegamos naturalmente à definição de um semigrupo.

Podemos nos fazer outra pergunta: quando este mapa é um isomorfismo? Este é um isomorfismo iff$y\mapsto y_r$ é injetivo, e isso é iff $(x)a_r = (x)b_r$, isso é, $xa = xb$ implica $a = b$ para todos $x, a, b$.

Esses semigrupos são chamados de semigrupos fracamente redutivos à esquerda, abreviadamente lwr.

No entanto, há um problema sério com isso: os semigrupos lwr não formam uma variedade entre as estruturas com operação binária. Claramente, se$S$ é um semigrupo que não é um semigrupo lwr, então $S^1$, Onde $S\mapsto S^1$é a operação de adicionar um elemento de identidade, é um semigrupo lwr. Mas então$S^1$ contém $S$ como seu subsemigrupo, de modo que um subsemigrupo de um semigrupo lwr não precisa ser um semigrupo lwr.

Mas existe uma classe de semigrupos que forma uma variedade, talvez não como estruturas com operação binária, mas com adição de um elemento nulo. Esses são monóides restantes$(S, \cdot, e)$ Onde $\cdot$ é uma operação binária, $e$ é um elemento nulo e existem duas identidades: $x(yz)\approx (xy)z$, $ex \approx x$.

Como uma classe de semigrupos que vem do esquecimento da operação $e$ ie $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$, todos os monoides esquerdos são semigrupos lwr.

Minha pergunta é, se pudéssemos encontrar alguma estrutura $(S, \cdot, \mathscr{F})$ Onde $\mathscr{F}$ denota o conjunto de todos $n$funções -ary para $n\in\mathbb{N}_0$ outro que não seja $\cdot$ , a função binária e as identidades, de modo que um conjunto de álgebras que satisfaçam essas identidades forme uma variedade, e o mapa $(S, \cdot, \mathscr{F})\mapsto (S, \cdot)$ pois qualquer álgebra dessa variedade a transforma em um semigrupo lwr, de modo que a classe de conjuntos obtida dessa forma é máxima, ou se for impossível.

Para começar, se uma variedade que cobriria uma classe de semigrupos entre monóides esquerdos e semigrupos lwr.

Atualização :

Consegui encontrar um candidato potencial para essa estrutura. Considerar$(S, \cdot, e)$ Onde $e:S\to S$ é uma operação unária, com identidades $e(x)x \approx x$ e $e(x)e(y)e(x)y \approx y$.

Tais estruturas generalizam monoides, pois se $f$ é a identidade da esquerda, então $e(x) \equiv f$nos dá uma estrutura do tipo acima. Além disso, qualquer semigrupo que satisfaça essas relações é um semigrupo lwr, uma vez que$xa = xb$ implica $a = e(a)b$ e $b = e(b)a$ de modo a $a = e(a)e(b)e(a)b = b$.

No entanto, não tenho um exemplo que não seja um monóide esquerdo.

Atualização 2 :

eu achei aquilo $e(x)x\approx x$, $e(x)e(y)e(x)y \approx y$ são equivalentes a $e(x)^2 y \approx y$, $e(y)e(x)y \approx e(x)y$.

Em particular, podemos consertar $x\in S$ e pegue $ e = e(x)^2$, de modo que $ey = y$ para todos $y\in S$. Isso significa$S$ é um monóide esquerdo.

Atualização 3 :

Semigrupos Lwr pequenos que não são deixados monóides :

Existe um único semigrupo lwr de ordem $3$que não é um monóide esquerdo. É dado pela matriz \ begin {bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \ end {bmatrix}

Pelos meus cálculos, existe $18$ semigrupos de ordem $4$ que são lwr, mas não monoides esquerdos, com Id's $54, 67, 69, 69^t, 70, 70^t, 77^t, 88, 92, 98, 99^t, 100, 101^t, 102, 102^t, 103^t, 110^t, 112$ no pacote GAP Smallsemi, onde $t$ significa a tabuada de multiplicação transposta (anti-isomorfismo).

Nova estrutura :

Vamos considerar $(S, \cdot, e)$ Onde $e$ é uma operação binária $e:S\times S\to S$, com identidades $e(x, y) \approx e(y, x)$ e $e(x, y)x\approx x$.

Você pode pensar a operação binária como uma escolha de identidades esquerdas locais, que ligam dois elementos $x, y$ juntos exigindo $e(x, y)$ para ser a identidade de esquerda local de $x$ e $y$.

E se $S$ é um monóide esquerdo com identidade esquerda $f$, nós podemos pegar $e(x, y) \equiv f$.

Qualquer estrutura desse tipo é um semigrupo lwr porque $xa = xb$ para todos $x$ implica $e(a, b)a = e(a, b)b$, e isso significa $a = b$.

Essas estruturas são discutidas aqui e aqui .

Atualização 4:

Parece haver outra classe de semigrupos que são fracamente redutivos! Esses são semigrupos induzidos por (pequenas) categorias. A construção pode ser encontrada aqui na resposta de @ J.-E.Pin.

E se $(S, \cdot)$ é induzido por categoria $\mathcal{C}$, e $x\cdot f = x\cdot g$ para todos $x\in S$ e morfismos $f, g$ do $\mathcal{C}$, então tomando $x = 1_X$ Onde $X$ é o domínio de $f$, $f = 1_X\cdot g$. Em particular,$1_X\cdot g = 1_X\circ g$ é definido tão igual a $g$. E se$x\cdot f = x\cdot 0 = 0$ para todos $x\in S$ e morfismo $f$ do $\mathcal{C}$, então como antes $f = 0$. Contradição.

Isso prova que todos os semigrupos induzidos por (pequenas) categorias são fracamente redutivos.

Answer 1

Você pode descrever a classe de todos os lwrs dessa maneira, usando um binário extra e uma operação ternária. Denotando as duas operações por$w(a,b)$ e $r(a,b,c)$, considere a variedade definida pela associatividade de $\cdot$ e identidades $$r(a,b,w(a,b)\cdot a)=a,\\ r(a,b,w(a,b)\cdot b)=b.$$ Observe que, se essas identidades forem válidas, para qualquer $a\neq b$ nós devemos ter $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$, o que implica o semigrupo $(S,\cdot)$ é lwr para qualquer álgebra $(S,\cdot,w,r)$.

Por outro lado, se o semigrupo $(S,\cdot)$ é lwr, então para qualquer $a\neq b$ há algum $w(a,b)$ de tal modo que $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$. Use esses valores para definir$w$, configuração $w(a,a)$arbitrariamente. Agora podemos definir$r(a,b,c)$ de tal forma que é igual a $a$ E se $c=w(a,b)\cdot a$, $b$ E se $c=w(a,b)\cdot b$ e assume qualquer valor para todos os outros $c$. Então$(S,\cdot,w,r)$ satisfaz as identidades acima.