Encontre pelo menos uma solução do sistema de equações com restrições
Considere o sistema de equações com restrições$$ \begin{cases} x+y+z+t+u+v=3(a+b), \\ x+y+2(z+t)+3u=6b\\ 0 \leq x,y,z,t,u,v \leq 1, \end{cases} $$aqui$0 \leq a,b \leq 1$são parâmetros fixos.
Preciso encontrar pelo menos uma solução não trivial da equação. Sob não trivial, quero dizer uma solução que é diferente de$0$e$1$, seria muito preferível para quase todos$a,b.$Melhor se as soluções fossem expressas em termos de$a,b$. Se não, deve haver um algoritmo para calculá-lo.
Minha tentativa. Tratei o problema como um problema de otimização e tentei usar o método simplex. Infelizmente, muitas vezes recebo uma solução com muitos zeros e uns. Por exemplo se$a=0.22, b=0.34$eu recebo$$ t= 0.52,u= 0.0,v= 0.16,x= 1.0,y= 0.0,z= 0.0$$e não é tão bom.
Alguma ideia?
Respostas
Somando e subtraindo, obtemos o conjunto de todas as soluções como sendo:
$y=6a+u-2v-x$e$z=-3a+3b-t-2u+v$.
Então, por exemplo, definindo$a=\frac{1}{2}, u=\frac{1}{6}, v=\frac{6}{7},x=\frac{1}{2}, t=\frac{1}{2}$e$b=\frac{2}{3}$dá$y=\frac{20}{21}$e$z=\frac{11}{21}$.