Equações Diferenciais Elementares, Boyce, seção 2.2, exercício 19 (Equações Separáveis)
O exercício consiste em resolver o problema de valor inicial:
$$\sin{(2x)}\mathrm dx+\cos(3y)\mathrm dy = 0$$ $$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$$
Nós temos$\cfrac{-\cos{(2x)}}{2}+\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=K$, e de$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$concluimos que$$\cfrac{-\cos{(\pi)}}{2}+\cfrac{\sin{(\pi)}}{3}=K \Rightarrow K = \cfrac{1}{2}\text.$$Então:$$\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{\cos{(2x)}}{2}=\cos^2{x} \implies \sin{(3y)}=3\cos^2{x}$$.
Por que a solução é$y=\cfrac{\pi-\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$e não simplesmente$y=\cfrac{\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$? O que estou fazendo errado?
Eu agradeceria qualquer ajuda.
Respostas
$\sin(3y)=3\cos^2(x) \Rightarrow y= \dfrac{ \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$
Ao fazer isso, você está assumindo que$\sin(3y)$é invertível em uma vizinhança de$\frac{ \pi}{2}$. Mas em cada bola aberta centrada em$\frac{ \pi}{2}$existem pontos$a< \frac{ \pi}{2}< b$de tal modo que$\sin(3y(a))=\sin(3y(b))$por causa da praça$cos(x)$. Portanto, você deve ter cuidado ao escolher o domínio de sua solução.
A solução$y= \dfrac{ \pi - \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$é válido quando$x \in [0, \dfrac{ \pi}{2} ]$enquanto$y= \dfrac{\text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$é válido quando$x \in [\dfrac{ \pi}{2}, \pi ]$.