Essa abordagem é correta para encontrar o maior conjunto aberto no qual essa função é analítica?

Question

Esta questão fazia parte da minha atribuição em análise complexa.

Encontre o maior conjunto aberto no qual$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $é analítico.

eu escrevi$F(t)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $e depois computar$\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}$. Então em$F(t+h)$eu vou conseguir$\mathrm{d}(t+h)$que eu coloco igual a$\mathrm{d}t+\mathrm{d}t$. Então, estou conseguindo$3$integrais.

Mas há uma confusão: o limite de$F(t)$é$0$para$1$sobre$\mathrm{d}t$mas devido a$\mathrm{d}(t+h)$dentro da integral estou obtendo limite de$\mathrm{d}h$também igual a$0$para$1$e então eu vou colocar o limite$h \rightarrow0$.

Depois disso, apenas os cálculos são deixados. Então, minha abordagem está correta? Se não, por favor, diga-me qual é o erro e qual seria a abordagem correta.

Obrigado!!

Answer 1

Você pode usar a regra de Leibniz para integrais paramétricas: Se$D\subseteq\mathbb C$está aberto,$f:[a,b]\times D\to\mathbb C$é contínua e$f_t(z):=f(t,z)$é analítico em$D$para todos$t\in[a,b]$, então

$$F(z):=\int_a^b f(t,z)\mathrm dt$$

é analítico em$D$. No seu exemplo específico,$f(t,z)=\frac{1}{1+tz}$, que é analítico em$\mathbb C\backslash(-\infty,-1]$para todos$t\in[0,1]$, desde$f_t$é analítico em todos os lugares, exceto em$z=-\frac{1}{t}$. Portanto, a integral em questão é analítica no domínio que mencionei e não é definida fora desse domínio, de modo que esse domínio também é o maior em que é analítico.