Etapa na prova em Riemann Sums de Spivak Calculus.

Aug 17 2020

Eu estava trabalhando em uma prova no Cálculo de Spivak (2008) - pg 279 . A seguir está uma captura de tela da parte da prova com a qual estou tendo problemas.

Minha pergunta é como combinar as etapas 1, 2 e 3 corretamente. Eu quero chegar a

$$\bigg|\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx \bigg| < \epsilon \\ \Rightarrow\ -\epsilon < \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx < \epsilon$$

Mexendo com a equação 2, obteria algo na forma

$$ 0 \leq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \leq U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$$

O mesmo ocorreria com $\int_{a}^{b}f(x) dx$. Agora, usando essa ideia, obtenho algo na forma:

$$\epsilon > U(f,P) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq ?? $$

Aqui está o meu problema, não posso dizer com certeza que $\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq 0$. Nada do que tenho pode implicar tal e, como resultado disso, não posso concluir que$\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) > -\epsilon$. O que me permitiria terminar esta parte da prova. Por experiência própria, sei que é uma coisa algébrica secundária que estou perdendo, mas suponho que estou mentalmente fatigado e não vejo isso. Alguma ajuda seria bom.

Respostas

3 Koro Aug 17 2020 at 05:44

Dica : multiplique a equação$(3)$ de $-1$ e adicionar à equação $(2)$ para obter:
$-(U(f,p) -L(f,P))\leq -\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) \leq U(f,P) - L(f,P) $
Em outras palavras, temos $-\epsilon\lt y\lt \epsilon$, de onde $|y|\lt \epsilon$

2 Matematleta Aug 17 2020 at 06:06

$(2)$ e $(3)$ implica que tanto a soma quanto a integral estão entre $L(f,P)$ e $U(f,P)$ então a diferença absoluta entre eles não pode ser mais do que $U(f,P)-L(f,P)$ e por $(1)$ esta última expressão é menor que $\epsilon.$