Expansão de Laurent de raiz quadrada

Aug 17 2020

Eu tenho o seguinte problema de duas partes:

(a) Prove que $(z^2 - 1)^{-1}$ tem uma raiz quadrada analítica em $\mathbb{C} - [-1,1]$

(b) Encontre a expansão de Laurent de uma raiz quadrada analítica da parte (a) em um domínio $\{a: |z| > 1 \}$, centrado em $z = 0$.

Para a parte (a), noto que a transformação mobius $F(z) = \frac{z-i}{z+i}$ mapeia o $\mathbb{C} - [-1,1]$ para $\mathbb{C}-(-\infty,0]$. Desde a$\mathbb{C} - (-\infty,0]$ está simplesmente conectado e $F$ é diferente de zero em $\mathbb{C} - [-1,1]$, podemos definir um ramo analítico de valor único de $\sqrt{F(z)}$ em $\mathbb{C} - [-1,1]$. Então, por um cálculo rápido

$$G(z) = \frac{1}{(z+i)^2\sqrt{F(z)}}$$

é uma raiz quadrada analítica de $(z^2 - 1)^{-1}$ dentro $\mathbb{C} - [-1,1]$.

No entanto, não sei como abordar a parte (b). Qualquer ajuda seria apreciada.

Respostas

Matematleta Aug 17 2020 at 09:24

Por parte $(a)$ Porque $|z|>1$, E se $z=re^{i\theta}: -\pi<\theta< \pi,$ podemos usar o ramo principal do logaritmo e escolher $\sqrt {w^2}=w.$ Então, com $Z=1/z^2$ e observando que o teorema binomial é válido para $|z|>1,$ nós computamos

$\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{1-Z}}=\frac{1}{z}(1-Z)^{-1/2}=$

$\frac{1}{z}( 1 + Z/2 + 3 Z^2/8 + 5 Z^3/16 + 35 Z^4/128 + 63 Z^5/256 + 231 Z^6/1024 + 429 Z^7/2048 + 6435 Z^8/32768 + 12155 Z^9/65536 + 46189 Z^{10}/262144 + O(Z^{11}))$

E se $\theta$ encontra-se no eixo real negativo, então escolha o corte do ramo de acordo e repita o cálculo acima para $0<\theta<2\pi$.

Eu também acho que podemos conseguir $(a)$por meios elementares. Temos por definição,

$\sqrt{(z^2 - 1)^{-1}}=e^{-\frac{1}{2}\log (z^2-1)}$. Esta função tem pontos de ramificação em$1$ e $-1$ mas não $\infty$ para que possamos implementar o diagrama

configuração $z + 1 = r_1e^{i\theta_1}$ e $z -1 = r_2e^{i\theta_2}$ e $\pi<\theta_1,\theta_2<\pi$

e provar analiticidade por cálculo direto. Tudo se resume a considerar casos.