Extensão de correspondência de Kummer sem raízes de unidade (Serge Lang)

Question

Estou tentando resolver o seguinte problema.

Deixei $k$ ser um campo de característica $0$. Suponha que para cada extensão finita$E$ do $k$, o índice $(E^* : E^{*n})$é finito para todo número inteiro positivo n. Mostre que para cada número inteiro positivo$n$, existe apenas um número finito de extensões abelianas de $k$ de grau $n$.

E se $k$ contém uma raiz n-ésima primitiva da unidade, pode-se usar a correspondência um-para-um da extensão abeliana de $k$ do expoente n e subgrupos de $k^*$ contendo os enésimos poderes dos elementos diferentes de zero de $k$. Para este caso uma das formas de resolver é como na resposta deste post: Encontre a bijeção entre o campo de Kummer e o subgrupo de Galois .

Mas pelo $k$ não contendo as n-ésimas raízes da unidade, temos algum tipo de correspondência entre, digamos, extensão abeliana de $k$ de expoente m e extensão abeliana de $k(\zeta)$ do expoente n, de onde $\zeta$ é uma raiz n-ésima primitiva da unidade?

Observei que uma extensão abeliana de $k$ do expoente n tem grau de extensão não mais do que o grau de extensão sobre $k(\zeta)$ da extensão abeliana de $k(\zeta)$ do expoente n gerado pelo mesmo conjunto, multiplicado por $\varphi(n)$, de onde $\varphi(n)$ denota a função de Euler.

Outra observação: suponha $k$não contém enésimas raízes de unidade. Seja H um subgrupo de$k^*$ contendo os enésimos poderes dos elementos diferentes de zero de $k$, então $H$ e $\zeta^j$ juntos geram um subgrupo de $k(\zeta)^*$ contendo os enésimos poderes dos elementos diferentes de zero de $k(\zeta)$.

Answer 1

Deixei $L/k$ ser o compositum de todas as extensões abelianas de grau no máximo $n$ sobre $k(\zeta_n)$. Desde a$k$ tem característica zero, $L/k$é separável. Então, desde$k(\zeta_n)$ tem tudo $n$- raízes da unidade, você já sabe disso $L/k$é finito. E se$E/k$ é uma extensão abeliana de grau $\leq n$, então $E(\zeta_n)$ é uma extensão abeliana de $k(\zeta_n)$ de grau $\leq n$, conseqüentemente $E\subset E(\zeta_n) \subset L$. Desde a$L/k$é separável, ele contém no máximo um número finito de subextensões. Daí o conjunto de possíveis$E$ é finito.