Fatores de $2n^2 \leq n$?

Question

Quantos fatores de $2n^2$ são menores ou iguais a $n$? Eu sei que o número de fatores de$n^2$ Menor que $n$ é metade do número de fatores de $n^2$ (cada fator $< n$ corresponde a um maior que $n$), mas $2n^2$é um caso totalmente diferente, ao que parece. Existe alguma maneira de encontrar uma expressão para isso? E se não, existe um algoritmo para isso? Eu examinei a combinatória e a fatoração primária, mas cheguei a um beco sem saída.

Answer 1

Não vejo solução analítica geral, uma vez que parece depender da fatoração principal de $n$.

Mas o OP também pede código. Isso é muito simples. No Mathematica :

myfun[n_: Integer] := Length[
Select[Divisors[2 n^2], # <= n &]]

Assim:

myfun[9098345]

(* 27 *)

Aqui está um enredo:

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Isso não é diretamente parte do problema, mas parece ser a motivação do problema. Se a função acima for$f(n)$, calcular $F(N) = \sum\limits_{n=1}^N f(n)$, para $N = 10^{12}$.

Acho que a abordagem é a seguinte: Calcule o número de$2$s nessa soma. Em seguida, calcule o número de$3$s. E assim por diante, então some-os.

O número de $2$s é $10^{12}/2$. O número de$3$s é $10^{12}/3$. E assim por diante. Mas qual é o máximo que adicionamos no cálculo total? Eu acho que deve ser o maior fator permitido no$10^{12}$ (último) termo na soma, ou seja, $k_{max} = \sqrt{50} \cdot 10^5 = 707107$, obtido do $2 n^2 = 10^{12}$ Cálculo.

Se estiver certo, então: $F(10^{12}) = 10^{12} \sum\limits_{k = 1}^{k_{max}} \frac{1}{k} = 10^{12}\ {\rm HarmonicNumber}(k_{max}) = 10^{12} \cdot 14.0461536491411$.

Provavelmente, há alguns artefatos de arredondamento que devem ser incluídos, mas acho que essa é a abordagem certa. Alguém deve fazer isso com mais cuidado.

Answer 2

Esta é uma questão muito interessante. Presumir$n=2^{a}(2k+1)$ para algum inteiro $a$ e $k$. Seja f (x) = números de divisores positivos do inteiro x. Como fatores de$2n^2\leq n$ precisamos de vários fatores de $2^{2a+1}(2k+1)^2$. Assim nós temos$f(2^a(2k+1))+c_{a}$.Onde $c_{a}$é que o fator de erro tem um pequeno fator de limite, que precisa ser determinístico. Embora seja uma ideia grosseira, não estou encontrando o limite, mas para obter dicas, você pode tentar caixas pequenas. No entanto vamos$g(x)=$maior inteiro menor igual ax então, $$c_{a}\leq f(g(2^{\frac{2a+1}{2}}(2k+1)))-f(2^a(2k+1))$$.Onde nós sabemos $f$ é a famosa função divisora ​​ou $\tau$ função e $g$é a função de chão. Use este link para limite, limite inferior para a soma da função divisor