Funções analíticas desaparecendo (sub) exponencialmente no infinito

Question

Deixei $f$ ser uma função analítica no semiplano complexo superior e contínua até o eixo real, e deixar $a>0$. Suponha que a função \ begin {equation} \ zeta \ in \ mathbb {C} ^ + \ rightarrow f (\ zeta) \ mathrm {e} ^ {- ia \ zeta} \ in \ mathbb {C} \ end {equation } é ele próprio limitado. Intuitivamente, uma vez que o valor absoluto do exponencial cresce à medida que$|z|\to\infty$, isto exige $f$ decair pelo menos exponencialmente, com expoente maior que $a$, em $|z|\to\infty$; por exemplo, qualquer função como$f(\zeta)=\mathrm{e}^{ib\zeta}$, $b>a$ fará o truque, bem como qualquer combinação dessas funções.

Eu me pergunto se a classe de funções analíticas limitadas no semiplano que satisfazem essa condição é de fato maior e / ou pode ser caracterizada de alguma forma.

Answer 1

Funções holomórficas com crescimento controlado geralmente aparecem na teoria das transformadas integrais de função generalizada. Considere, por exemplo, a classe de funções holomórficas delimitadas no meio plano direito por uma função exponencial, ou seja, tais que$$ \mathscr{LH}_a\triangleq\big\{ f\text{ is holomorphic for }\Re\zeta>-a \text{ and } |f(\zeta)|\le Ce^{-L|\zeta|},\; \Re \zeta>0\big\}.\label{1}\tag{1} $$ para alguns $L>0$ (assumindo nada sobre a regularidade da função $f$ para $\Im \zeta=0$)
Pode-se provar que ([2] p. 400 e p. 403) uma função analítica$f$ pertence a $\mathscr{LH}_a$se e somente se for a transformada de Laplace de uma hiperfunção de Laplace : e a classe \ eqref {1} até uma rotação anti-horária de$\pi/2$ do domínio de definição de seus membros, inclui estritamente a classe das funções holomórficas limitadas no meio plano superior e contínuas no eixo real, ou seja, se $f$ é limitado no meio plano superior e contínuo no eixo real, então $f(-i\zeta)\in\mathscr{LH}_0$.

Além desta caracterização "moderna" nesta classe de função, Torsten Carleman usou funções limitadas no plano superior e inferior para definir sua transformada de Fourier generalizada: seus resultados são coletados na monografia [1].

Referências

[1] Thorsten Carleman, L'intégrale de Fourier et questions qui s'y rattachent (francês), Publications Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler, 1, Uppsala. 119 p. (1944), MR0014165 , Zbl 0060.25504 .

[2] Eungu Lee e Dohan Kim, " Laplace hyperfunctions ", Integral Transforms and Special Functions, 19: 6, 399-407 (2008), MR2426730 , Zbl 1186.46042 .