Fundamentos da Verdade, Provabilidade e Axiomas por meio da Hipótese do Continuum
Seja S a estrutura / linguagem de ZFC (incluindo PL 1). Deixe CH referir-se à conhecida hipótese do contínuo. Minhas afirmações são as seguintes e você poderia apenas dizer se é verdade ou errado e por quê?
Em S, nem CH é verdadeiro nem falso porque em S apenas tautologias e contradições já são verdadeiras / falsas e CH não o é.
Digamos que eu assuma apenas um axioma em S que diz: existe um conjunto vazio. Agora, neste cenário, CH novamente não é verdadeiro nem falso porque ainda não podemos falar sobre cardinalidades de conjuntos (e, portanto, não podemos falar sobre CH).
Digamos que eu assuma ZFC em S. Agora podemos falar sobre cardinalidades de conjuntos. Isso significa que aqui CH é um wff e, portanto, é verdadeiro ou falso. Mas não podemos provar qual é (Gödel, Cohen). Mas isso significa: CH é verdadeiro xou falso em ZFC neste exato momento, nós simplesmente não sabemos e nunca saberemos!
Se assumirmos brutalmente que CH é verdadeiro em ZFC (ZFC + CH), então não há inconsistência (prova de Gödel), mas se tomarmos ZFC + ~ CH, podemos provar que também não há inconsistência (Cohen), então ZFC é - falado livremente - muito geral para capturar a verdade / falsidade de CH corretamente, assim como a rede de um pescador às vezes é muito grande para pegar certos peixes.
Respostas
Existem várias questões aqui, que podem não parecer importantes no início, mas com o tempo irão obscurecer o quadro (já bastante matizado).
Em primeiro lugar, você está combinando estruturas , teorias e linguagens . Em ordem crescente de complexidade:
Uma linguagem (também chamada de assinatura ou vocabulário ) é um conjunto de símbolos não lógicos, como$\{\in\}$ ou $\{+,\times,0,1,<\}$.
Uma teoria é um conjunto de sentenças de primeira ordem, e para uma linguagem$\Sigma$ uma $\Sigma$-teoria é uma teoria que consiste em sentenças da linguagem $\Sigma$ - por exemplo $\mathsf{ZFC}$ é um $\{\in\}$-teoria e primeira ordem $\mathsf{PA}$ é um $\{+,\times,0,1,<\}$-teoria.
Uma estrutura em um determinado idioma é um conjunto junto com uma interpretação dos vários símbolos naquele idioma emhttps://en.wikipedia.org/wiki/Structure_(mathematical_logic)#Interpretation_function.
Se uma sequência particular de símbolos é ou não um wff depende apenas da linguagem envolvida, não de quais axiomas estamos considerando nem de qual estrutura (se houver) estamos focalizando especificamente.$\mathsf{CH}$ é um wff na língua $\{\in\}$. O que o vazio$\{\in\}$-teoria (seu "$S$") não posso fazer é provar coisas básicas sobre $\mathsf{CH}$e frases relacionadas. então$S$ pode falar sobre $\mathsf{CH}$, simplesmente não tem muito a dizer. Este problema está implícito em$(1)$ e $(2)$, e explícito em $(3)$.
Agora vamos ao ponto mais sutil: verdade e falsidade . A relação de satisfação$\models$ conecta estruturas e sentenças / teorias, com "$\mathcal{A}\models\varphi$"(resp."$\mathcal{A}\models\Gamma$") sendo lido como"$\varphi$ é verdade em $\mathcal{A}$"(resp." Cada frase em $\Gamma$ é verdade em $\mathcal{A}$"). Mas usamos o termo" verdadeiro " apenas neste contexto; quando falamos sobre teorias, o termo relevante é demonstrável .
A principal razão para reservar termos como "verdadeiro" e "falso" para estruturas em oposição a teorias é que as propriedades padrão da verdade, como a bivalência, são válidas apenas para a verdade-em-uma-estrutura, não para a comprovação-em-uma-teoria. Ao separar os termos, tornamos mais fácil ser preciso e evitamos erros sutis. Este é um problema no seu ponto$(3)$, onde verdade e provabilidade se confundem. Em particular, a declaração
CH é verdadeiro xou falso no ZFC neste exato momento, simplesmente não sabemos e nunca saberemos
não analisa.
OK, infelizmente, você vai encontrar as pessoas dizem que as coisas são verdadeiro / falso em$\mathsf{ZFC}$. A conexão é que uma frase pode ser provada em uma teoria$T$ https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_completeness_theorem é verdade em todos os modelos de $T$, então isso não é totalmente injustificado. Mas isso é um abuso de terminologia e deve ser evitado até que os fundamentos do tópico sejam dominados.
Depois de passar da verdade para a comprovação, aponte $(4)$então está correto com uma ligeira hipótese adicional: assumindo$\mathsf{ZFC}$é consistente em primeiro lugar , ambos$\mathsf{ZFC+CH}$ e $\mathsf{ZFC+\neg CH}$ são consistentes.