generalização de multiconjuntos
Prove que para qualquer$c,d \in \mathbb{R}$e$k\in\mathbb{N}, \left({c+d\choose k}\right) = \sum_{j=0}^k \left({c\choose j}\right) \left({d\choose k-j}\right).$
eu sei como mostrar isso${a+b\choose k} = \sum_{j=0}^k {a\choose j}{b\choose k-j}$por$a,b\in \mathbb{R}$usando uma prova algébrica, mas não tenho certeza de como mostrar a versão multiconjunto disso. eu sei que$\left({n\choose k}\right) = {n+k-1\choose k}$. Mas se insistíssemos que$c,d\in\mathbb{N},$Acho que posso chegar a uma prova combinatória. Deixar$S$denotar o conjunto de$j$-multiconjuntos (ou seja, de tamanho$j$) do$[1,\cdots, c+d]$. Deixar$C_j$denotar o conjunto de multiconjuntos de tamanho$j$a partir de$[1,\cdots, c]$e$D_{k-j}$denotar o conjunto de multiconjuntos de tamanho$k-j$a partir de$[c+1,\cdots, c+d]$. Deixar$E_j$denotar o conjunto de$k$-multiconjuntos de$[1,\cdots, c+d]$com$j$elementos de$[1,\cdots, c].$Observe que cada$E_j$é disjunto e$S = \cup_{j=0}^k E_j\Rightarrow |S| = \sum_{j=0}^k |E_j|\tag{1}.$Além disso, não é difícil definir uma bijeção$f : E_j \to C_j \times D_{k-j}.$Desde$|C_j| = \left({c\choose j}\right)$e$|D_{k-j}| = \left({d\choose k-j}\right)$e$ |E_j| = |C_j||D_{k-j}|$, substituindo esses resultados em$(1)$dá a igualdade desejada. Mas é claro que isso só funciona para$c,d\in \mathbb{N}.$
Respostas
Para fixo$k\in\Bbb N$a expressão
$$p(c,d)=\left(\!\!\binom{c+d}k\!\!\right)-\sum_{j=0}^k\left(\!\!\binom{c}j\!\!\right)\left(\!\!\binom{d}{k-j}\!\!\right)$$
é um polinômio em$c$e$d$. Se consertarmos$c\in\Bbb N$, torna-se um polinômio em$d$. Ou este polinômio é identicamente$0$, ou tem apenas um número finito de zeros. já que é$0$para cada$d\in\Bbb N$, deve ser idêntico$0$. Desta forma,$p(n,d)=0$para cada$n\in\Bbb N$e$d\in\Bbb R$. Mas agora podemos segurar$d$fixo e vista$p(c,d)$como um polinômio em$c$, e pelo mesmo argumento de que o polinômio deve ser identicamente$0$. Desta forma,$p(c,d)=0$para todos$c,d\in\Bbb R$.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{\mbox{Prove that for any}\ c,d \in \mathbb{R}\ \mbox{and}\ k\in\mathbb{N}, \left(\!{c + d \choose k}\!\right) = \sum_{j = 0}^{k}\left(\!{c\choose j}\!\right) \left(\!{d\choose k - j}\!\right)}:\ {\Large ?}}$.
\begin{align} &\bbox[#ffd,5px]{\sum_{j = 0}^{k}\left(\!{c\choose j}\!\right) \left(\!{d\choose k-j}\!\right)} = \sum_{j = 0}^{k}{c^{\,\large\overline{j}} \over j!} {d^{\,\overline{k - j}} \over \pars{k - j}!} \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \sum_{j = 0}^{k}{k! \over j!\pars{k - j}!} {\Gamma\pars{c + j}\Gamma\pars{d + k - j} \over \Gamma\pars{c + d + k}} \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \sum_{j = 0}^{k}{k \choose j}\int_{0}^{1}t^{c + j - 1} \pars{1 - t}^{d + k - j - 1}\,\dd t \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!}\int_{0}^{1}t^{c - 1}\pars{1 - t}^{d + k - 1} \sum_{j = 0}^{k}{k \choose j}\pars{t \over 1 - t}^{j}\,\dd t \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \int_{0}^{1}t^{c - 1}\pars{1 - t}^{d + k - 1}\, \pars{1 + {t \over 1 - t}}^{k}\,\dd t \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \int_{0}^{1}t^{c - 1}\pars{1 - t}^{d - 1}\,\dd t \\[5mm] = &\ \require{cancel} {\pars{c + d + k - 1}! \over \cancel{\pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}} \,{1 \over k!} \bracks{\cancel{\pars{c - 1}!\pars{d - 1}!} \over \pars{c + d - 1}!} = {c + d + k - 1 \choose k} \\[5mm] = &\ \bbx{\large\left(\!{c + d \choose k}\!\right)} \\ & \end{align}