Grupos virtualmente grandes de classificação pequena (relacionados a 3-variedades)
Estou procurando uma razão pela qual um grupo de 3 variedades $G$ isso é virtualmente $\mathbb{Z}\times F$, $F$sendo não cíclico livre ou grupo de superfície, não admite apresentação sobre dois geradores.
Estes são os grupos fundamentais de 3 variedades fechadas com $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ geometria (obrigado @HJRW por apontar que o caso riscado acima corresponde a um limite não vazio), e acontece que todas as outras geometrias admitem exemplos com grupo fundamental de classificação dois, com destaque notável de geometria euclidiana onde todos são fundamentais grupos são virtualmente $\mathbb{Z}^3$(e classifique dois exemplos sendo as variedades de Fibonacci). Assim, os grupos de três variedades admitem exemplos de grupos de classificação virtualmente alta sendo, eles próprios, de classificação pequena. É claro que é bem sabido que um grupo livre em dois geradores é virtualmente arbitrariamente alto.
No entanto, por Boileau & Zieschang , Teorema 1.1, a classificação de$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ variedade depende do gênero da superfície de base e do número de fibras singulares da fibração Seifert (e é pelo menos 3), sendo, portanto, virtualmente $\mathbb{Z}\times F$ força o grupo a ter pelo menos a mesma classificação.
Qual é a causa que este subgrupo limita a classificação do grupo ambiente por baixo e, digamos, grupos livres ou abelian free $\mathbb{Z}^3$não faça? Eu ficaria feliz se houvesse uma razão geométrica tridimensional em jogo aqui, mas ficaria grato por atualizar minha teoria geral de grupo também.
Respostas
A questão origina-se de uma má interpretação do Teorema 1.1 no artigo de Boileau e Zieschang. O Teorema 1.1 exclui um bom número de casos, em particular, não se aplica a variedades Seifert fechadas (totalmente orientadas) com 3 fibras singulares e base do gênero 0. Algumas dessas variedades Seifert excluídas fornecem contra-exemplos à sua afirmação sobre classificação$\ge 3$.
Por exemplo, pegue o exterior $N$ de um $(p,q)$- nó toróide que não é trivial e não é o trifólio. O gênero deste nó é$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(porque eu excluí o trifólio que tem gênero 1). O múltiplo$N$ é um feixe de superfície sobre o círculo cuja fibra $F$ é a superfície perfurada do gênero $g$. A monodromia desta fibração é uma ordem finita (na verdade, a ordem é$pq$) homeomorfismo $h: F\to F$. Assim, se colapsarmos o limite de$F$ apontar, obtemos uma superfície fechada $S$ do gênero $g$ e $h$ irá projetar para um homeomorfismo de ordem finita $f: S\to S$. O toro de mapeamento$M=M_f$ é uma variedade Seifert do tipo ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ obtido por um preenchimento Dehn do limite de $N$. A base da fibração Seifert terá três pontos singulares e gênero 0: Duas das fibras singulares vêm de$N$ e um vem do toro sólido anexado a $\partial N$como resultado do nosso enchimento Dehn. (É um fato geral que o toro de mapeamento de um homeomorfismo de ordem finita de uma superfície hiperbólica é uma variedade de Seifert do tipo${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$.) Desde o grupo $\pi_1(N)$ é 2-gerado, o grupo de quociente $\pi_1(M)$ também é gerado por 2.