Identidade de Ramanujan relacionada a JacobiFunction [duplicado]
A seguinte identidade é supostamente devido a Ramanujan $$\int_0^\infty \frac{{\rm d}x}{(1+x^2)(1+r^2x^2)(1+r^4x^2)\cdots} = \frac{\pi/2}{\sum_{n=0}^\infty r^{\frac{n(n+1)}{2}}} \, $$mas como você prova isso? O denominador do lado direito está relacionado à Função de Jacobi, então talvez seja possível proceder via formas modulares?
Respostas
Uma resposta parcial por enquanto. Temos que provar isso$$ \prod_{n\geq 1}\frac{1}{1+r^n}=\sum_{k\geq 0}\prod_{n=1}^{k}\frac{r^{2n-1}}{r^{2n}-1} $$ ou $$ \prod_{n\geq 1}\frac{1-r^n}{1-r^{2n}}=\sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n=1}^{k}\frac{1}{1-r^{2n}} $$ ou $$ \prod_{n\geq 1}(1-r^n) = \sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n>k}(1-r^{2n}) $$
onde o LHS, pelo teorema do número pentagonal de Euler, é igual $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k r^{k(3k-1)/2} $$ e o coeficiente de $r^m$ dentro $\prod_{n>k}(1-r^n)$ depende do número de partições de $m$ em partes distintas com cardinalidade $>k$, contabilizado com sinal positivo ou negativo de acordo com o número de peças.
Agora, não deveria ser difícil provar nossa afirmação usando a mesma involução explorada na prova combinatória do teorema dos números pentagonais de Euler, ou algo bem próximo disso.