IDTFT de convolução no domínio da frequência

Question

Eu tentei de tudo. Se você realmente souber como resolver isso, poderia dar uma dica?

$$ e^{-2j\Omega}\frac{ \sin\left( \frac{7\Omega}{2}\right)}{ \sin\left( \frac{\Omega}{2} \right)}\star \frac{\sin\left( \frac{10 \Omega}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\Omega}{2} \right) }$$

Idealmente, gostaria de encontrar o Fourier de cada "fração" separadamente e, em seguida, usar as propriedades: $x(n - n_o) \rightarrow e^{-jn_0\Omega}X(\omega)$ então eu não me importo com $$ e^{-2j\Omega}$$ mas tenho 2 problemas:

1. Não posso usar $\displaystyle \frac{\sin\left(\left(n+\frac 12\right)\Omega\right)}{\sin\left(\frac \Omega 2\right)}$ para $(n+1/2) = 10/2$ Porque $n \in Z$
2. Em DTFT, em meu livro não há propriedade como no tempo contínuo para transformar a convolução em $\Omega$ domínio para multiplicação no domínio do tempo, então não sei o que fazer aqui também.

atualização:
Após alguns comentários e ajuda de pessoas que responderam: Vou tentar fazer como juch$\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}= \frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}e^{j\Omega(10-1)/2}=\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2}$

Devo aproveitar a propriedade: $\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2} \rightarrow 2\pi F^{-1}{\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]} * F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]$
O resultado é :
$F^{-1}[e^{j9\Omega/2}] =$ $\frac{1}{2\pi}int_{\pi}^{\pi}e^{j9\Omega/2}e^{j\Omega n}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\frac{e^{j\Omega(9/2 +n)}}{j(9/2+n)}\Big|_{-\pi}^{\pi}=\frac{4(-1)^n}{2\pi(n+9)}$ ( eu acho que)

e $F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]=1$ para $n \in [0,9]$e 0 em qualquer outro lugar.
Agora precisamos calcular a convolução desses 2:
o resultado deve ser diferente de zero apenas quando$n \in [0,9]$ assim:
$F^{-1}\Big[\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}\Big]e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big] = \begin{cases} \frac{4(-1)^n}{(n+9)} & n \in [0,9] \\ 0 & else \end{cases}$

Answer 1

Parece-me que este exercício pretende combinar as propriedades básicas da DTFT (reunidas aqui: Tabela de Propriedades da DTFT ). Matt descreveu a propriedade do produto / convolução. Você também obtém o time-shift / modulação complexa. Eu suspeito (pensei não ter feito os cálculos) que o problema com o fator$10$ poderia ser resolvido com uma mudança na variável: $10\Omega = 5\times (2\Omega)$, e o uso da propriedade de escala de tempo (expansão) (consulte Escala de tempo de sequências de tempo discreto e o DTFT ):

$$ S(c\Omega) \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x[n/c] \textrm{ if } n/c \textrm{ is an integer } \\ 0 \textrm{ otherwise.} \end{array} \right.$$

Outras dicas giram em torno dos kernels de Dirichlet :

$$D_N(x) =\frac{\sin\left(\left(N +1/2\right) x \right)}{\sin(x/2)}$$

Eles também são chamados de asinc ou psinc ( seno cardinal com alias ou periódico ou sinc) e relacionados a janelas discretas de suporte finito. E se$*$ é o sinal de convolução, a resolução pode usar as propriedades do produto / convolução de Fourier.

E de forma mais geral (na parte inferior da página sobre kernels de Dirichlet ), você tem a identidade:

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{jn\Omega} = e^{j(N-1)\Omega/2}\frac{\sin(N \, \Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}\,,$$

que relaciona o DTFT de uma janela de tempo discreta $w_{[0,N-1]}$ (do índice $n=0$ para $n=N-1$) para razões de senos com um termo de correção de fase. Você pode verificar os detalhes na transformação de Fourier de tempo discreto de uma função de janela .

Answer 2

Também em tempo discreto, temos a correspondência entre a multiplicação em um domínio e a convolução no outro domínio:

$$x[n]y[n]\Longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})\tag{1}$$

onde a convolução no domínio da frequência é definida por

$$X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})=\int_{-\pi}^{\pi}X\big(e^{j\theta}\big)Y\big(e^{j(\omega-\theta)}\big)d\theta\tag{2}$$

O DTFT

$$H_N(e^{j\omega})=\frac{\sin\left(\frac{N\omega} {2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)},\qquad N\textrm{ odd}\tag{3}$$

corresponde a uma sequência de domínio de tempo muito simples. Tenho certeza que você pode assumir daqui.