IMO 2003 / G1: Mostre que $PQ=QR$ se e somente se as bissetoras de $\angle ABC$ e $\angle ADC$ são simultâneos com $AC$.

Question

Deixei $ABCD$ser um quadrilátero cíclico. Deixei$P$, $Q$, $R$ ser os pés das perpendiculares de $D$ para as linhas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Mostra isso$PQ=QR$ se e somente se as bissetoras de $\angle ABC$ e $\angle ADC$ são simultâneos com $AC$.

Aqui está o diagrama:

Eu quero usar geo projetiva.

Meu Progresso : É sabido que$P,Q,R$ são colineares [linha simson]

Agora, aqui está um lema.

Lema : Dado um quadrante cíclico$ABCD$, as bissetoras do ângulo $\angle ABC$ e $\angle ADC$ são simultâneos com $AC$ se e apenas se $ABCD$ é harmônico.

Prova : se$ABCD$ é harmônico, então $(A,C;B,D)=-1 \implies \frac {BA}{BC}=\frac {DA}{DC} $ , agora aplicando o teorema da bissetriz do ângulo, estamos prontos.

Podemos retroceder para provar a outra direção.

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Então, a pergunta reformulada é:

Deixei $ABCD$ser um quadrilátero cíclico. Deixei$P$, $Q$, $R$ ser os pés das perpendiculares de $D$ para as linhas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Mostra isso$Q$ é o ponto médio de $PR$ se e apenas se $ABCD$ é harmônico:

Agora, uma vez que me pediram para usar geo Projetiva, estou planejando $(P,R;Q,P_{\infty})=-1$. Agora eu posso conseguir$P_{\infty}$quando considero uma linha paralela à linha simson, mas não sou capaz de prosseguir na tomada de qual linha. Peguei uma linha paralela a$PR$ através $D$, mas não é possível prosseguir ..

Answer 1

Ampliar $DQ$ para encontrar o círculo em $X$.Então, BX seria paralelo à linha simson, conforme mencionado no comentário.

Se parte: agora, vamos $BX$ Conheçer $AC$ em $Y$.Tome a perspectiva em $B$ na linha $AC$ para mostrar isso $(Y,Q,A,C)$ harmônico. Agora, considere a perspectiva em $X$ no círculo para mostrar que $ABCD$é harmônico. A outra direção pode ser provada de forma semelhante.