Incorporação construtiva $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ para dentro $\mathbb{R}$

Question

Usando o axioma da escolha, é provável que $\mathbb{R}$ é isomórfico a $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ como um espaço vetorial sobre $\mathbb{Q}$. (Assumindo AC, ambos os espaços têm uma base de Hamel sobre$\mathbb{Q}$ da mesma cardinalidade e, portanto, são isomórficos.)

Então, minha pergunta é se esse isomorfismo entre $\mathbb{R}$ e $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ pode ser construído sem AC ou, pelo menos, se podemos incorporar $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ para dentro $\mathbb{R}$sem AC. (Por incorporação, quero dizer construir um injetivo$\mathbb{Q}$- mapa linear de um espaço para o outro.)

O último é equivalente a perguntar se podemos construir um subespaço de $\mathbb{R}$ que tem uma base Schauder sobre $\mathbb{Q}$, como tal, um subespaço deve ser automaticamente isomórfico para $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$.

Obrigado pela ajuda!

Answer 1

Na verdade, é consistente com ZF que não há homomorfismos não triviais $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$. Citando uma resposta anterior onde isso surgiu:

Existe um modelo de ZF construído por Shelah em que cada conjunto de números reais tem a propriedade Baire . Isso implica, se bem entendi, que não há homomorfismos diferentes de zero de$\mathbb{R}$a qualquer grupo abeliano contável (uma vez que qualquer grupo abeliano contável com a topologia discreta é um grupo polonês , então neste modelo qualquer homomorfismo de$\mathbb{R}$para tal grupo é automaticamente mensurável e, portanto, automaticamente contínuo). então$\mathbb{R}$, e $SO(2)$, não têm subgrupos de índice contável neste modelo.

Isso não descarta a possibilidade de uma incorporação explícita $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$; Não tenho certeza de uma forma ou de outra se tal coisa existe, mas de repente, aposto que não. Aposto que é consistente com ZF que todo mapa linear$\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$ fatores através da projeção para algum subconjunto finito de seus fatores.