Interpretação geométrica da matriz $A-B$
Existe uma interpretação geométrica de subtração de duas matrizes, com um caso especial de $I -A$ (subtração de uma matriz da matriz de identidade)?
Referência: If $A$ é uma matriz idempotente, o intervalo de $A$ e o alcance de $I-A$são conjuntos separados. Tentando entender geometricamente.
Se alguém puder explicar o caso geral da subtração de matrizes geometricamente, será de grande ajuda.
Respostas
Eu não acho que haja uma resposta geral para $A-B$, mas no caso de $I-A$, mais precisamente no caso de $Q=I-P$ Onde $P$ é uma matriz de projeção ortogonal (ou seja, uma matriz idempotente como você diz) em um determinado subespaço $S$, então $Q=I-P$ é a projeção ortogonal no complemento ortogonal $S^{\perp}$ do $S$.
Por exemplo, em 3D, considere a linha $S$ com equações $x=y=z$, com vetor unitário normatizado $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. A matriz de projeção ortogonal em$S$ é a matriz de classificação um (classificação um porque o espaço de intervalo é unidimensional):
$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$
e
$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$
é a projeção ortogonal no plano $S^{\perp}$ ortogonal a $S$ com equação $x+y+z=0$, (com uma matriz de classificação 2, porque o espaço de intervalo agora é bidimensional).