Limites da variância da soma das variáveis ​​aleatórias dependentes

Aug 16 2020

Deixei $x_1, \ldots, x_n$ser possivelmente variáveis ​​aleatórias dependentes , cada uma tomando valores$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Suponha ainda que em cada resultado o número de variáveis ​​aleatórias iguais a 2 seja exatamente 1. Agora, para cada$i \in \{1, \ldots, n\}$ definir $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ e deixar $ f = \sum_i f_i. $

Minha pergunta é quão grande pode a variação de $f$estar? Minha conjectura é que devemos ser capazes de limitá-lo por$O(1)$ mas não sei como provar isso.


Nota: Caso ajude, é fácil provar que $E[f] = 1$: $$ E[f] = \sum_i E[f_i] = \sum_i \Pr[x_i \geq 1] \times \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] = \sum_i \Pr[x_i = 2] = 1, $$ onde a última igualdade vem de nossa suposição inicial de que em todos os resultados exatamente um dos $x_i$é igual a 2.

Respostas

4 IosifPinelis Aug 16 2020 at 22:11

$Var\,f$ pode ser da ordem de $n$ (mas não mais do que isso).

Na verdade, vamos $U$ e $N$ ser variáveis ​​aleatórias independentes de modo que $P(U=1)=:p=1-P(U=0)=:q$ e $P(N=i)=1/n$ para todos $i\in[n]:=\{1,\dots,n\}$. Deixei$$x_i:=1(U=1,N\ne i)+2\times1(N=i). $$ Então com $p=1/n$ $$Var\,f\sim n/4\tag{1}$$ (Como $n\to\infty$)

Por outro lado, $$Var\,f\le Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j\le\sum_{i,j\in[n]}Ef_i =n\sum_{i\in[n]}Ef_i=n.$$


Detalhes em (1): Temos $$Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j \\ =\sum_{i,j\in[n]}P(x_i=2|x_i\ge1)P(x_j=2|x_j\ge1) P(x_i\ge1,x_j\ge1),\tag{2}$$ $$P(x_i\ge1)=1-P(x_i=0)=1-P(U=0)P(N\ne i)=1-q(1-1/n)=p+q/n,$$ $$P(x_i=2)=P(N=i)=1/n,$$ $$P(x_i=2|x_i\ge1)=\frac{P(x_i=2)}{P(x_i\ge1)}=\frac{1/n}{p+q/n},$$ e $$P(x_i\ge1,x_j\ge1)=1-P(x_i=0\text{ or }x_j=0)=1-P(x_i=0)-P(x_j=0)+P(x_i=0,x_j=0) =1-2q(1-1/n)+q(1-2/n)=1-q=p$$ para $i\ne j$. Escolhendo agora$p=1/n$, temos
$$Ef^2\sim n/4.$$ Desde a $Ef=1$, (1) agora segue.


Olhando para trás em (2), agora a ideia por trás da construção deve se tornar transparente: Queremos fazer $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$ para $i\ne j$ muito maior que $P(x_i\ge1)P(x_j\ge1)$ e ao mesmo tempo não fazer $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$muito pequeno. A escolha$p=1/n$ é quase ideal a esse respeito.