Mantendo os fatores de fase no quadrado

Question

Estou tentando representar graficamente certas funções holomórficas que contêm raízes quadradas e superiores. No sentido de análise complexa, a função$f:z\mapsto z^\alpha$ para alguns $\alpha\in\mathbb C$ tem um fator de fase $e^{2\pi i\alpha}$ no $z=0$, o que significa que em um pequeno caminho circular ao redor $0$ a função $f$pega esse fator. Existe uma maneira de implementar isso no Mathematica?

Por exemplo,

g[z_] = z^4;
Sqrt[g[Exp[Pi I/2]]]

dá 1 como resultado, onde eu gostaria que o Mathematica mantivesse a fase $g(e^{\pi i/2})=e^{2\pi i}$ e então computar $$\sqrt{g(e^{\pi i/2})}=e^{\pi i}=-1.$$Com Sqrtou$(\cdot)^{1/2}$isso não parece possível, pois eles colhem as raízes quadradas principais. Muito obrigado pela sua ajuda!

EDIT Aqui está um exemplo:

lim = 5; dlim = 20; 
f1[z_] = Sqrt[z^8];
f2[z_] = z^4;
p1 = ParametricPlot[{Re[f1[1 + d I]], Im[f1[1 + d I]]}, {d, -dlim, 
    dlim}, PlotRange -> {{-lim, lim}, {-lim, lim}}];
p2 = ParametricPlot[{Re[f2[ 1 + d I]], Im[f2[1 + d I]]}, {d, -dlim, 
    dlim}, PlotRange -> {{-lim, lim}, {-lim, lim}}];
GraphicsGrid[{{p1, p2}}]

Obviamente as funções f1e f2não são as mesmas, assim como$\sqrt{x^2}=|x|$ não é igual a $x$ sobre $\mathbb R\ni x$. Para meu propósito, estou bastante interessado em uma resolução da raiz quadrada que leve a uma função suave. Os gráficos acima têm a seguinte aparência:

Na imagem à esquerda, podem-se ver pontos onde a função cruza o corte do galho da raiz quadrada. Estou me perguntando se existe uma maneira de evitá-lo, como na foto certa, sem conseguir resolver a raiz quadrada manualmente. Por exemplo, se alguém adiciona uma expressão a$z^8$ que contenha fases semelhantes, gostaria de tirar uma fase comum da raiz quadrada, para não ser afetada pelo corte do galho.

Também se pode deformar a função acima para dizer $f(z)=\sqrt{z^8+\varepsilon}$ para alguns $\varepsilon>0$. Então, não há como obter a raiz quadrada para genéricos$z$, e não é possível traçar uma deformação da imagem certa. Estou independentemente interessado em encontrar uma maneira de fazer isso, de forma que a imagem certa seja deformada continuamente.

O interesse real meu vem das raízes quadradas das funções modulares EllipticThetae DedekindEta, que se transformam sob certas transformações lineares fracionárias com fases. Então é bem definido ter expressões como$\sqrt{\vartheta_4(z)^8+\varepsilon \vartheta_2(z)^4\vartheta_3(z)^4}$ uma vez que ambos os summands se transformam com as mesmas fases.

Todos os problemas acima vêm do fato de que o Mathematica expressa números complexos em cada etapa, seja em coordenadas cartesianas ou ignora tudo módulo $2\pi$na forma polar. Seria bom encontrar uma maneira de impedir o Mathematica de fazer isso, sem ter que redefinir todas as operações. Muito obrigado!

Answer 1

Este é um exemplo do problema geral de continuar analiticamente uma função multivalorada ao longo de um caminho contínuo.

No caso de uma função algébrica, como $w=\sqrt{z^8}$, podemos escrever como $f(z,w)=w^2-z^8=0$ e no seu caso, deixar $z(t)=1+it$, Escreva: $$ \frac{dw}{dt}=-\frac{f_z}{f_w}\frac{dz}{dt}=\frac{4i(1+it)^7}{w} $$ Em seguida, resolvemos o IVP (com vários valores): $$ \frac{dw}{dt}=\frac{4i(1+i t)^7}{w};\quad \{w_0\}=\{f(z(t_0),w)=0\} $$ onde o DE e os valores iniciais $\{w_0\}$ para $t_0=-5$ são configurados como:

tStart = -5;
tEnd = 5;
thez[t_] = 1 + t I;
theDE = w'[t] == ((4 I z^7)/w /. {z -> thez[t],
    w -> w[t]});
wStart = w /. Solve[w^2 == (1 + tStart I)^8, w]

Agora resolva ambos os IVP e plote os resultados:

colors = {Red, Blue};
plotTable = Table[
   dSol = 
    First[NDSolve[{theDE, w[-5] == wStart[[i]]}, 
      w, {t, tStart, tEnd}]];
   theSol[t_] := Evaluate[Flatten[w[t] /. dSol]];
   ParametricPlot[{Re[theSol[t]], Im[theSol[t]]}, {t, tStart, tEnd}, 
    PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}, PlotStyle -> colors[[i]]],
   {i, 1, 2}];
Show[plotTable]