Matrizes semi-definidas positivas e positivas

Aug 19 2020

Deixei $H_n$ seja um $(n+1)\times (n+1)$ matriz simétrica real, e deixe $D_0,D_1,\dots, D_n$ sejam os principais menores de $H_n$.

O que eu sei é:

  1. E se $H_n$ é definido positivo (resp. semi definido positivo), então $D_n> 0$ (resp. $D_n\geq 0$)
  2. E se $D_k>0$ para todos $0\leq k\leq n$, então $H_n$é definido positivo (pelo critério de Sylvester ).

O que eu quero saber é, assumindo que $H_n$ é semi-definido positivo,

$\quad$T1. E se$D_n>0$, então $H_n$ é definido positivo.

$\quad$2º trimestre. E se$H_n$ não é definitivo positivo, então $D_n=0$.

Para o primeiro trimestre: acredito que seja feito por indução $n$. Para$n=0$: E se $D_0>0$, então $H_0$é definido positivo, pelo segundo ponto. Para$n=1$: E se $D_1>0$, como você sabe disso $D_0\neq 0$, para que possamos usar o segundo ponto novamente?

Para o 2º trimestre: sabemos que $H_n$ é semi-definido positivo por suposição, então $D_n\geq 0$pelo primeiro ponto. Mas desde$H_n$ não é semi-definido positivo, não podemos ter $D_n>0$, então $D_n=0$. É isso?

Respostas

1 BenGrossmann Aug 21 2020 at 14:51

Uma matriz semidefinida positiva é definida positiva se e somente se for invertível (tem determinante diferente de zero).

Isso normalmente é tomado como uma consequência do seguinte: uma matriz simétrica é definida positiva se e somente se seus autovalores são reais e semidefinito positivo se e somente se seus autovalores são não negativos. A partir daí, notamos que o determinante de uma matriz é o produto de seus autovalores.

Para uma prova mais direta, é suficiente notar que para uma matriz semidefinida positiva (simétrica) $H$, temos $x^THx = 0 \iff Hx = 0$. Em minha postagem aqui , provo isso de algumas maneiras diferentes. A partir daí, observe que uma matriz tem determinante zero se e somente se seu espaço nulo (kernel AKA) não é trivial.