Mostra isso $x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$ é limitado, monótono e encontra seu limite
Provar que $x_1 = 0, x_2 = 0, x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$é limitado e monotônico. Em seguida, encontre seu limite.
Minha tentativa de limitação:
(Usando indução) Para o caso base, temos $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$. Suponha que a sequência é limitada por$n = k$. Então,\begin{align*} 0 \leq x_k &\leq 2 \\ \vdots \\ \text{lower bound } \leq x_{k + 1} &\leq \text{upper bound} \end{align*}
Estou confuso com o termo $x_{n + 2}$ na fórmula recursiva e não consigo ver a álgebra para produzir as etapas acima sem obter $x_{n + 2}$ na expressão do limite superior / inferior.
Obrigado.
Atualizar:
Eu adicionei isso para provar:
Nós temos $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$ e $0 \leq x_2 = 0 \leq 2$. Suponha que a sequência é limitada por$k+1$,
\begin{align*} 0 &\leq x_{k + 1} \leq 2 \\ 0 &\leq x_k + x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_k + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq \frac{1}{6} x_{k} + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_{k+2} \leq 4 \end{align*}
Portanto, pelo princípio da indução matemática, a sequência é limitada.
Isso é válido?
Respostas
Observe aquilo $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = \frac{4}{3}$. Podemos provar por indução que$x_n <2$ para todos $n$. Suponha que a desigualdade seja verdadeira para$x_1, x_2,\ldots, x_{n+1}$. Então$$ x_{n + 2} = \frac{1}{3}x_{n + 1} + \frac{1}{6}x_n + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2. $$Agora mostramos que a sequência está aumentando monotonicamente. Suponha que$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \ldots \leq x_{n+1}$ detém para alguns $n\geq 2$. Então$$ x_{n + 2} - x_{n + 1} = \frac{1}{3}(x_{n + 1} - x_n ) + \frac{1}{6}(x_n - x_{n - 1} ) \geq 0. $$ portanto $x_n$é limitado de cima e crescente, portanto, é convergente. Seu limite$x$ deve satisfazer $$ x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1, $$ ou seja, devemos ter $x=2$.
Não, seu argumento não é válido. Você mostra isso
$$x_{k+1}\le 2\implies x_{k+2}\le 4.$$
Se você aplicar indução, isso leva a
$$x_{k+m}\le 2^{m+1}$$ que não é limitado.
Mas você pode usar
$$x_k,x_{k+1}\le2\implies x_{k+2}=\frac{x_k}{3}+\frac{x_{k+1}}6+1\le\frac23+\frac26+1=2.$$
Para delimitação usamos Indução Forte, é trivial que a sequência seja positiva. Queremos mostrar isso para todos$n \in \mathbb{N}$ temos $x_{n} < 2$
- Para k = 1, temos: $x_{1} = 0 < 2$
- Deixei $n \in \mathbb{N}$ e suponha que para todos $k \leq n$ temos: $x_{k} < 2$
- Nós temos: $x_{n-1} < 2$ e $x_{n} < 2$
Então: $\frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1$
Conseqüentemente: $x_{n+1} < 2$
Para a monotonia, vamos usar novamente a indução para provar que para todos $n \in \mathbb{N}$, $x_{n+1} \geq x_{n}$
- Para n = 1, é claro que $x_{2} = 0 \geq x_{1}$ Desde a $x_{1} = 0$
- Deixei $n \geq 2$ e suponha que para todos $k \leq n$ temos: $x_{k+1} \geq x_{k}$
Nós temos: $x_{n} \geq x_{n-1}$ e $x_{n+1} \geq x_{n}$
Conseqüentemente: $\frac{1}{3}x_{n+1} + \frac{1}{6}x_{n} + 1 \geq \frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1$
Portanto: $x_{n+2} \geq x_{n+1}$
Concluímos que a sequência está aumentando e, portanto, é monótona, e como é limitada, a sequência converge. Deixei$L$ seja o limite da sequência, então $L$ é a solução para a equação $x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1$, o que dá isso $L = 2$