Mostrando que um subanel$K$do$\mathbb H$contém um corpo que é isomórfico a$\mathbb C$

Aug 19 2020

Deixar$K$ser um subanel de$\mathbb H$, o anel dos quatérnios, com$\mathbb R \subseteq K$e$\mathbb R \neq K$, lá$\mathbb R$é o anel dos números reais.
Mostre que existe$x \in K$de tal modo que$ x^2 = -1$. Use este fato para deduzir que$K$contém um corpo que é isomórfico a$\mathbb C$, o anel dos números complexos.

Meus raciocínios:

Desde$\mathbb R \subseteq K$mas$\mathbb R \neq K$, deve existir algum$u \in \{i, j, k\}$, de tal modo que$u \in K$, Onde$i, j, k$são as unidades de quatérnio e, em particular, satisfazem

$i^2=j^2=k^2=-1$

Isso me ocorreu porque, para$K$ser diferente de$\mathbb R$, ele deve conter pelo menos uma dessas unidades. Se$K$realmente contém$u$, então$u$é uma solução de

$x^2=-1$

Neste ponto eu mostrei, se tudo estiver correto, que$K$contém tal$x$, mas não sei como mostrar a última parte da pergunta.

Eu me perguntei se eu poderia considerar

$\mathbb R[u]=\{a+ub:a,b \in \mathbb R\}$

nós temos isso$\mathbb R[u] \subseteq K$, desde$\mathbb R \subseteq K$e$u \in K$e$K$é um anel.

Para mostrar que$\mathbb R[u]$é um corpo e que é isomorfo a$\mathbb C$, seria "fácil" usar polinômios e quocientes, na verdade temos

$\mathbb R[u] \simeq \mathbb R[x]/(x^2+1)$

Onde$\mathbb R[x]$é o anel de polinômios sobre$\mathbb R$e$(x^2+1)$é o ideal principal gerado pelo polinômio$x^2+1$, que não tem raízes em$\mathbb R$, tornando-o máximo. Este isomorfismo é válido porque$x^2+1$é o polinômio mínimo de$u$sobre$\mathbb R$.

Mas também sabemos que

$\mathbb C \simeq \mathbb R[x]/(x^2+1)$

Onde podemos realmente ver$\mathbb C$Como$\mathbb R[i]=\{a+ib:a,b \in \mathbb R\}$.

Concluimos que

$\mathbb R[u] \simeq \mathbb C$

Agora, este método pode ou não estar correto, mas minha verdadeira questão é encontrar uma maneira de fazê-lo sem usar quocientes, ideais maximais e propriedades "avançadas" de polinômios sobre um corpo, porque este exercício é dado, em meu curso, antes todos eles.

Respostas

1 RobertLewis Aug 19 2020 at 06:08

Como é bem conhecido,$\Bbb H$possui uma base composta por

$1 \in \Bbb R \tag 1$

e$i$,$j$,$k$de tal modo que

$ij = k, \; jk = i, \; ki = j, \tag 2$

$i^2 = j^2 = k^2 = -1; \tag 3$

claro, (2) e (3) juntos implicam que$i$,$j$,$k$anti-comutação, viz:

$-j = i^2j = i(ij) = ik, \tag 4$

com argumentos semelhantes mostrando que

$ji = -k, \; kj = -i; \tag 5$

usando (2)-(4) nós calculamos$(ai + bj + ck)^2$, Onde$a, b, c \in \Bbb R$:

$(ai + bj + ck)^2 = (ai + bj + ck)(ai + bj + ck)$ $= a^2ii + b^2jj + c^2kk + abij + acik + abji + bcjk + acki + bckj$ $= -a^2 - b^2 - c^2 + ab(ij + hi) + ac(ik + ki) + bc(jk + kj)$ $= -(a^2 + b^2 + c^2) < 0, \tag 6$

fornecido pelo menos um de$a$,$b$,$c$não desaparece. Isso rende

$\left ( \dfrac{ai + bj + ck}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right )^2 = \dfrac{(ai + bj + ck)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = -1. \tag 7$

Agora se$K$é um subanel de$\Bbb H$com

$\Bbb R \subsetneq K \subset \Bbb H, \tag 8$

então$K$deve conter um elemento$q \in\Bbb H$do formulário

$q = r + ai + bj + ck, \tag 9$

com

$r, a, b, c \in \Bbb R, \tag{10}$

e pelo menos um dos$a$,$b$,$c$diferente de zero, uma condição facilmente vista como equivalente a

$a^2 + b^2 + c^2 > 0; \tag{11}$

desde$K$é um subanel e (8) implica

$r \in K, \tag{12}$

(9) rende

$p = ai + bj + ck = q - r \in K, \tag{13}$

e pelo que vimos acima

$\left (\dfrac{p}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right )^2 = -1; \tag{14}$

agora à luz de (8) e (10),

$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \in K, \tag{15}$

e assim

$u = \dfrac{p}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \in K \tag{16}$

com

$u^2 = -1, \tag{17}$

como mostrado acima em (14); assim o campo

$\Bbb R(u) \subset K, \tag{18}$

e usando (17) é fácil ver que os elementos de$\Bbb R(u)$são todos da forma$a + bu$,$a, b \in \Bbb R$, e assim o mapeamento

$\Bbb R(u) \ni a + bu \mapsto a + bi \in \Bbb C \tag{19}$

define um isomorfismo 'entre$\Bbb R(u)$e$\Bbb C$; deixamos para o leitor suficientemente engajado fornecer os detalhes simples.

Nota Bene, quarta-feira, 20 de agosto de 2020 23:24 PST: Observamos que a demonstração acima indica que existem muitas subálgebras de$\Bbb H$contendo$\Bbb R$e isomorfo a$\Bbb C.$

.

2 egreg Aug 18 2020 at 23:21

Seu ponto de partida está errado. O que você sabe é que existe um quaternion$a+bi+cj+dk$tal que pelo menos um entre$b,c,d$é diferente de zero.

Não há razão para que um quatérnio elementar precise estar em$K$.

Um exemplo simples é$\mathbb{R}[q]$, Onde$q=(i+j+k)/\sqrt{3}$, que na verdade é um campo isomórfico a$\mathbb{C}$e não contém nenhum dos$i,j,k$.


Deixar$u\in K$,$u\notin\mathbb{R}$. Então os quatérnios$1,u,u^2,u^3,u^4$não são linearmente independentes, pois$\mathbb{H}$tem dimensão quatro sobre$\mathbb{R}$. Portanto, existe um polinômio com coeficientes reais que se anula em$u$. Por outro lado, o polinômio pode ser fatorado em fatores irredutíveis de grau um ou dois e, como os quaternions são uma álgebra de divisão, um dos fatores deve desaparecer em$u$. Tal fator deve ter grau dois, caso contrário$u$seria real.

Sem perda de generalidade, o polinômio é mônico. Assim existem$a,b\in\mathbb{R}$de tal modo que$u^2+au+b=0$. Agora podemos completar o quadrado$$ \Bigl(u-\frac{a}{2}\Bigr)^2+b-\frac{a^2}{4}=0 $$Observe que$b-a^2/4>0$, Porque$x^2+ax+b$é por suposição um polinômio irredutível. Definir$c=\sqrt{b-a^2/4}$e$v=(u-a/2)/c$; decorre das suposições que$v\in K$. Então$c^2v^2+c^2=0$, por isso$v^2=-1$.

Agora mostre que$\mathbb{R}[v]$é um campo. Como é algébrico sobre$\mathbb{R}$, deve ser isomorfo a$\mathbb{C}$.