Mostrar para qualquer primo ímpar $p\geq 5,$ $(-3/p)=1$ ou $ -1$ [duplicado]

Question

Mostrar para qualquer primo ímpar $$p\geq 5,$$ $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 1,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv -1,5\pmod{12} \end{cases}$$

Até agora eu tenho isso

(1) Let $$p\equiv 1\pmod{4}$$ então $$p\equiv 1\pmod{3}$$ para obter $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{1}{3} \right )=-1$$

(2) Let $$p\equiv 1\pmod{4}$$ então $$p\equiv 2\pmod{3}$$ para obter $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{2}{3} \right )=1$$

(3) Let $$p\equiv 3\pmod{4}$$ então $$p\equiv 1\pmod{3}$$ para obter $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{1}{3} \right )=1$$

(4) Deixe $$p\equiv 3\pmod{4}$$ então $$p\equiv 2\pmod{3}$$ para obter $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right )=-1$$

Depois de resolver os sistemas CRT, recebo, $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 5,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv 1,-1\pmod{12} \end{cases}.$$

Então, não tenho certeza de onde estou bagunçando. Qualquer ajuda seria apreciada.

Answer 1

Você bagunçou alguns cálculos. Quando$p\equiv1\pmod4$, $\left(\dfrac{-3}p\right)=\left(\dfrac{-1}p\right)\left(\dfrac{3}p\right)=1\left(\dfrac p3\right)$,

então, nesses casos $\left(\dfrac{-3}p\right)=1$ quando $p\equiv1\pmod3$ e $\left(\dfrac{-3}p\right)=-1$ quando $p\equiv2\pmod3$ .