Mostre que se $a,b \in \mathbb{R}^n$, então $|||a|| - ||b||| \leqslant ||a+b||$
Mostre que se $a,b \in \mathbb{R}^n$, então $$|\|a\| - \|b\|| \leqslant \|a+b\|$$
Nós temos isso $$||a|| = ||a+b-b||\leqslant||a+b||+||-b|| = ||a+b||+||b||$$
e essa $$||b|| = ||b+a-a||\leqslant||b+a||+||-a|| = ||b+a||+||a||$$
no entanto, não vejo como posso continuar a partir daqui. Se eu pegar$||a||-||b||$ entendi $$||a||-||b|| = ||a+b||+||b|| -(||b+a||+||a||) = ||b||-||a||$$
o que não ajuda em nada. O que devo fazer aqui?
Respostas
$$\|a\| \le \|a + b \| + \|b\|$$
Conseqüentemente $\|a\|-\|b\| \le \|a+b\|$.
Da mesma forma nós temos $\|b\|-\|a\| \le \|a+b\|$
Conseqüentemente $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \le \|a+b\|$
Isso é $|\|a\|-\|b\||\le \|a+b\|$
Truque sorrateiro: escreva $||a|| = || -a||$, $||a + b|| = ||-a-b||$, e usar a desigualdade do triângulo diretamente.
Como @Siong Thye Goh já resolveu, vou mencionar uma coisa.
$\blacksquare~$ Reivindicação: Para qualquer subespaço vetorial $(X, \| \cdot \|)$ do $~\mathbb{K}^{n}$, temos a seguinte desigualdade satisfeita. \begin{align*} \| a - b \| \geqslant \big\lvert \| a \| - \| b \| \big \rvert \quad \text{for any } a, b \in X \subseteq \mathbb{K}^{n} \end{align*}
$\blacksquare~$Prova: Temos por$\textbf{triangle inequality of norms}$ \begin{align*} &\| (a - b) + b \| ~\leqslant~ \| a - b \| + \| b \| \quad \text{for any } a, b \in X\\ \implies & \| a \| - \| b \| ~\leqslant~ \| a - b \| \quad \text{for any } a, b \in X \end{align*} Então $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \leqslant \|a-b\|$
Portanto, temos que $\left| \| a \| - \|b \| \right| \leqslant \| a - b \|$.
Usando a desigualdade para qualquer $x, x_0 \in X~$ para $(X, \| \cdot \|)$ é um espaço linear normalizado e $X$ é um subespaço de $\mathbb{R}^n$, temos uma reivindicação muito importante.
$\bullet~$ Reivindicação: O mapa$\| \cdot \| : X \to [0, \infty)$é contínuo ou em outras palavras, a norma $\| \cdot \|$é contínuo.
$\bullet~$ Prova: A partir da definição de continuidade que temos, para qualquer dado$\epsilon > 0$, existe $\delta > 0$ de tal modo que
\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert < \epsilon ~\text{ when }~ \| x - x_{0} \| < \delta \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} do problema anterior temos a desigualdade \begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| y \| \big\rvert \leqslant \| x - y \| \quad \text{for any } x, y \in X \end{align*} Vamos escolher nosso $\epsilon = \delta$. Portanto temos\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert \leqslant \| x - x_{0} \| < \delta = \epsilon \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} O que mostra que o mapa $\| \cdot \|$é contínuo em$x_{0}$. Como$x_{0}$é arbitrário , então a função$\| \cdot \|$é contínuo em todo o espaço $X$.
Isso torna a prova importante de qualquer norma ser contínua em um subespaço vetorial de dimensão finita de$\mathbb{K}^n$.
Não relacionado à questão, sem intenção de spam :)