Mostre que uma sequência de funções que convergem uniformemente é Riemann integrável. E se eles convergirem apenas no ponto?
Deixar $f_n$ ser uma sequência de funções integráveis de Riemann em $[a,b]$que convergem uniformemente para uma função f. Mostre que f também é Riemann integrável. O que acontece se$f_n$ só converge pontualmente?
Considerando este cenário, mostre que
$$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$
Não tenho certeza de como começar este problema. Se eles já convergem para uma função, uniformemente, essa função tem que ser contínua, certo? Portanto, é trivialmente Riemann integrável. Não tenho certeza sobre o caso pontual. E então a segunda parte com os limites que não tenho certeza de como fazer. Qualquer ajuda é apreciada!
Respostas
Podemos usar o critério de Riemann para provar que o limite uniforme $f$ de uma sequência de funções integráveis de Riemann $(f_n)_n$ também é Riemann integrável.
Por convergência uniforme, para todos $\epsilon > 0$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todos $n \geqslant N$ temos
$$-\frac{\epsilon}{3(b-a)} < f(x) - f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}$$
Deixar $P: a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$ser uma partição. Desde a$f(x) = f(x) - f_n(x) + f_n(x),$ segue-se que em qualquer subintervalo de partição $I$,
$$\sup_I f(x) \leqslant \sup_I(f(x) - f_n(x)) + \sup_I f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \sup_I f_n(x), \\ \inf_I f(x) \geqslant \inf_I(f(x) - f_n(x)) + \inf_I f_n(x) > -\frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \inf_I f_n(x).$$
Desse modo, $ \inf_I f_n(x)- \frac{\epsilon}{3(b-a)} <\inf_I f(x) \leqslant \sup_I f(x) < \sup_I f_n(x)+ \frac{\epsilon}{3(b-a)}. $
Somando todos os subintervalos de partição, obtemos somas Darboux superiores e inferiores,
$$U(f,P) < \frac{\epsilon}{3} + U(f_n,P), \quad -L(f,P) < \frac{\epsilon}{3} - L(f_n,P),$$
e, portanto,
$$U(f,P) - L(f,P) < \frac{2\epsilon}{3} + U(f_n,P) - L(f_n,P).$$
Desde a $f_n$ é Riemann integrável, há uma partição $P$ de tal modo que $U(f_n,P) - L(f_n,P) < \epsilon/3$ e segue-se que $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$ provando isso $f$ é Riemann integrável.
Agora você deve ser capaz de provar por si mesmo que o limite da sequência de integrais é a integral da função limite, considerando que $|f_n(x) - f(x)| \to 0$ uniformemente para todos $x \in [a,b]$.
Deixar $\{q_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ sejam os números racionais no intervalo $[0,1]$, e vamos considerar as funções $$f_n(x)= \begin{cases} 1 &\text{if}\quad x \in \{q_1, \ldots, q_n\},\\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases} $$
O $f_n(x)$ são integráveis por Riemann, mas convergem para a função de Dirichlet, que não é integrável por Riemann.