Mudanças de paradigma na matemática [fechado]
na física, houve várias revoluções claras ou mudanças de paradigma que mudaram fundamentalmente o campo. Um exemplo é a revolução copernicana e a mudança abrangente da visão ptolomaica para a heliocêntrica.
Dado que a matemática funciona a partir de axiomas, concluí que é improvável que suposições erradas entrem no cânone do campo. Além disso, durante a minha formação em matemática (como físico), tive a sensação de que a matemática evoluiu continuamente desde os gregos até hoje, sempre adicionando novos conhecimentos sobre os antigos.
Portanto, minha pergunta é: se isso está errado e houve certas mudanças de paradigma ou reinterpretações radicais de resultados anteriores na história da matemática, ou foi um crescimento contínuo do conhecimento?
Termo aditivo
Já houve essa questão, que está pedindo mudanças filosóficas na matemática. No entanto, imaginei que fosse diferente deste, pois tento entender se o corpo do conhecimento matemático cresceu linearmente ou foi descontínuo em certos pontos.
Respostas
Suponho que possamos distinguir "revoluções" que enterram seus mortos (por assim dizer) de "mudanças de paradigma" (onde o jogo continua, e o trabalho feito no estilo antigo não é eliminado, mas não parece mais interessante ou importante para prosseguir).
Suponho que já se tenha pensado que o retrabalho da análise do século 19 sem infinitesimais foi uma revolução que deslocou falsidade / incoerência (razão pela qual variedades de análises não padronizadas que reabilitavam infinitesimais - mais ou menos! - vieram como uma surpresa intrigante para centenas e algo anos depois). O desenvolvimento da teoria dos conjuntos foi uma revolução, ao mostrar que era possível ter uma teoria coerente (dos "infinitos completos") onde antes se pensava que só poderia haver falsidade / incoerência.
Mas esse tipo de caso é certamente a exceção (em matemática, pelo menos). Uma mudança de paradigma não precisa envolver supor que o que aconteceu antes está errado . Em vez disso, novos conceitos são introduzidos, novos problemas podem ser levantados, novas abordagens passam a ser vistas como particularmente interessantes / recompensadoras; novos exemplos passam a ser considerados paradigmas a serem emulados e como definidores dos padrões pelos quais as soluções de problemas são julgadas. O desenvolvimento da álgebra abstrata no século passado, por exemplo, parece ser um exemplo paradigmático desse tipo de mudança de paradigma ...!
A matemática não é uma disciplina axiomática. Uma maneira pela qual um novo campo é aberto é geralmente revelando exemplos que têm algo em comum e que parecem apontar para uma nova teoria.
Tomemos por exemplo a homologia. Isso foi axiomatizado por Eilenberg & Steenrod. Mas se as pessoas não tivessem descoberto os números de Betti, se Poincaré não tivesse descoberto a homologia e não tivesse Noether apontado que os números de Betti eram mais bem pensados como grupos, não haveria algo para axiomatizar.
Hilbert diz mais ou menos o mesmo em seu Geometry & the Imagination onde ele classifica o pensamento dedutivo, que é o pensamento que vem da forma axiomática de uma ordem inferior do que o pensamento indutivo que ele classifica como a verdadeira forma de pensamento científico.
Pessoalmente, uma mudança de paradigma chave para mim foi a introdução do pensamento teórico-categórico na matemática e também demonstra a continuidade do pensamento. Por exemplo, o triângulo foi descoberto cedo, adicionando direções aos lados, temos a lei da adição de vetores e, então, permitindo que os lados sejam curvados, podemos considerá-los como flechas da teoria da categoria. Isso também é revelador: podemos pensar neles como vetores não euclidianos e em um espaço de comprimento onde entre quaisquer dois pontos há uma geodésica única, podemos elevar as geodésicas direcionadas a tal vetor.